直線的位置關系教案

　　作為一名無私奉獻的老師，很有必要精心設計一份教案，借助教案可以有效提升自己的教學能力。那么優(yōu)秀的教案是什么樣的呢？下面是小編幫大家整理的直線的位置關系教案，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。

直線的位置關系教案1

　　教學目標：

　　1、探索并掌握直線與圓的位置關系.

　　2、使學生從運動的觀點來觀察直線和圓相交、相切、相離的關系、培養(yǎng)學生的辯證唯物主義觀點.

　　3、了解轉化，分類討論的數(shù)學思想方法，提高解決實際問題的能力.

　　教學重點：直線和圓的位置關系的判定方法和性質．

　　教學難點：直線和圓的三種位置關系的研究及運用．

　　教法建議：在教學中，以“形”歸納“數(shù)”，以“數(shù)”判斷“形”為主線，開展在教師組織下，以學生為主體，活動式教學．

　　教學過程：

　　復習提問：

　　1、點與圓有幾種位置關系？它們如何表示？

　　2、過三點一定能畫圓嗎？外心一定在三角形內嗎？

　　導入新課：先觀察太陽升起的過程，地平線與太陽有哪幾種位置關系？

　　根據此現(xiàn)象探究直線與圓又有哪幾種位置關系？如圖所示:

　　問題

　　1、公共點有幾個？

　　2、圓心與直線的距離與半徑進行比較.

　　歸納：（引導學生完成）

　　（1）直線與圓有兩個公共點；（2）直線和圓有唯一公共點；（3）直線和圓沒有公共點.

　　概念：（指導學生完成）

　　由直線與圓的公共點的個數(shù)，得出以下直線和圓的三種位置關系：

　　（1）相交：直線與圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交．這時直線叫做圓的割線．

　�。�2）相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切．這時直線叫做圓的切線，唯一的`公共點叫做切點．

　　（3）相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離．

　　研究與理解：

　�、僦本�與圓有唯一公共點的含義是“有且僅有”，這與直線與圓有一個公共點的含義不同．

　�、谥本�和圓除了上述三種位置關系外，有第四種關系嗎？即一條直線和圓的公共點能否多于兩個？為什么？

直線的位置關系教案2

　　教學目標：

　　1、經歷觀察、操作、推理、交流等過程，進一步發(fā)展空間觀念、推理能力和有條理表達的能力。

　　2、在具體情景中了解補角、余角、對頂角，知道等角的余角相等、等角的補角相等、對頂角相等，并能解決一些實際問題。

　　教學重點：

　　1、余角、補角、對頂角的概念

　　2、理解等角的余角相等、等角的補角相等、對頂角相等。

　　教學難點：

　　理解等角的余角相等、等角的補角相等。判斷是否是對頂角。

　　教學方法：

　　觀察、探索、歸納總結。

　　準備活動：

　　在打桌球的時候，如果是不能直接的把球打入袋中，那么應該怎么打才能保證球能入袋呢？

　　教學過程：

　　第一環(huán)節(jié)情境引入

　　活動內容：搜集生活中常見的圖片，讓學生從中找出相交線和平行線。

　　第二環(huán)節(jié)探索發(fā)現(xiàn)

　　內容一：觀察圖中各角與∠1之間的關系：

　　∠ADF+∠1=180

　　∠ADC+∠1=180

　　∠BDC+∠1=180

　　∠EDB+∠1=180

　　∠2=∠1

　　教學中要鼓勵學生自己去尋找，但是不要求學生說出圖中所有的角與∠1的關系。在對圖中角的關系的充分討論的基礎上，概括出互為余角和互為補角的概念。

　　提醒學生：互為余角、互為補角僅僅表明了兩個角之間的度量關系，并沒有對其位置關系作出限制。（為下面的對頂角的學習作鋪墊）

　　讓學生探索出“同角或等角的余角相等，同角或等角的補角相等”的結論。鼓勵學生用自己的語言表達，并說明理由。

　　內容二：

　　議一議：

　�。�1）用剪刀剪東西的時候，哪對角同時變大或變�。�

　�。�2）如果將剪刀簡單的`表示為右圖，那么∠1和∠2有什么位置關系？

　�。�3）它們的大小有什么關系？能試著說明理由嗎？

　　由此引出對頂角的概念和“對頂角相等”的結論。

　　第三環(huán)節(jié)小診所

　　活動內容：判斷下列說法是否正確

　　1（1）300，700與800的和為平角，所以這三個角互余。（）

　�。�2）一個角的余角必為銳角。（）

　�。�3）一個角的補角必為鈍角。（）

　　（4）900的角為余角。（）

　�。�5）兩角是否互補既與其大小有關又與其位置有關（）

　　2、你能舉出生活中包含對頂角的例子嗎？

　　3、下圖中有對頂角嗎？若有，請指出，若沒有，請說明理由。

　　4、議一議：如上圖所示，有一個破損的扇形零件，利用圖中的量角器可以量出這個扇形零件的圓心角的度數(shù)嗎？你能說出所量角是多少度嗎？你的根據是什么？

　　第四環(huán)節(jié)課堂小結

　　小結：熟記

　�。�1）余角、補角的概念。

　　（2）同角或等角的余角相等，同角或等角的補角相等。

　�。�3）對頂角的概念和“對頂角相等”。

　　第五個環(huán)節(jié)布置作業(yè)

　　1、習題2.1數(shù)學理解1，2

　　習題2.1問題解決1，2

直線的位置關系教案3

　　教學目標：

　　1．使學生理解直線和圓的相交、相切、相離的概念。

　　2．掌握直線與圓的位置關系的性質與判定并能夠靈活運用來解決實際問題。

　　3．培養(yǎng)學生把實際問題轉化為數(shù)學問題的能力及分類和化歸的能力。

　　重點難點：

　　1．重點：直線與圓的三種位置關系的概念。

　　2．難點：運用直線與圓的位置關系的性質及判定解決相關的問題。

　　教學過程：

　　一．復習引入

　　1．提問：復習點和圓的三種位置關系。

　�。�目的：讓學生將點和圓的位置關系與直線和圓的位置關系進行類比，以便更好的掌握直線和圓的位置關系）

　　2．由日出升起過程當中的三個特殊位置引入直線與圓的位置關系問題。

　�。�目的：讓學生感知直線和圓的位置關系，并培養(yǎng)學生把實際問題抽象成數(shù)學模型的能力）

　　二．定義、性質和判定

　　1．結合關于日出的'三幅圖形，通過學生討論，給出直線與圓的三種位置關系的定義。

　�。�1）線和圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交。這時直線叫做圓的割線。

　�。�2）直線和圓有唯一的公點時，叫做直線和圓相切。這時直線叫做圓的切線。唯一的公共點叫做切點。

　�。�3）直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離。

　　2．直線和圓三種位置關系的性質和判定：

　　如果⊙O半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，那么：

　　（1）線l與⊙O相交 d＜r

　�。�2）直線l與⊙O相切d=r

　�。�3）直線l與⊙O相離d＞r

　　三．例題分析：

　　例（1）在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，以C為圓心，r為半徑。

　�、佼攔= 時，圓與AB相切。

　�、诋攔=2cm時，圓與AB有怎樣的位置關系，為什么？

　�、郛攔=3cm時，圓與AB又是怎樣的位置關系，為什么？

　�、芩伎迹寒攔滿足什么條件時圓與斜邊AB有一個交點？

　　四．小結（學生完成）

　　五、隨堂練習：

　　(1)直線和圓有種位置關系，是用直線和圓的個數(shù)來定義的；這也是判斷直線和圓的位置關系的重要方法。

　　(2)已知⊙O的直徑為13cm，直線L與圓心O的距離為d。

　�、佼攄=5cm時，直線L與圓的位置關系是；

　　②當d=13cm時，直線L與圓的位置關系是；

　　③當d=6。5cm時，直線L與圓的位置關系是；

　�。�目的：直線和圓的位置關系的判定的應用）

　　(3)⊙O的半徑r=3cm，點O到直線L的距離為d，若直線L 與⊙O至少有一個公共點，則d應滿足的條件是（）

　　(A)d=3 (B)d≤3 (C)d<3 d="">3

　　2.直線l與圓 O相切<=> d=r

　�。ㄉ鲜鼋Y論中的符號“<=> ”讀作“等價于”）

　　式子的左邊反映是兩個圖形（直線和圓）的位置關系的性質，右邊是反映直線和圓的位置關系的判定。

　　四、教學程序

　　創(chuàng)設情境------導入新課------新授-------鞏固練習-----學生質疑------學生小結------布置作業(yè)

　　[提問] 通過觀察、演示，你知道直線和圓有幾種位置關系？

　　[討論] 一輪紅日從海平面升起的照片

　　[新授] 給出相交、相切、相離的定義。

　　[類比] 復習點與圓的位置關系，討論它們的數(shù)量關系。通過類比，從而得出直線與圓的位置關系的性質定理及判定方法。

　　[鞏固練習] 例1，

　　出示例題

　　例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC= 4cm,以C為圓心，r為半徑的圓與AB有什么樣的位置關系？為什么？

　　（1）r=2cm； （2）r=2.4cm; (3)r=3cm

　　由學生填寫下例表格。

　　直線和圓的位置關系

　　公共點個數(shù)

　　圓心到直線距離d與半徑r關系

　　公共點名稱

　　直線名稱

　　圖形

　　補充練習的答案由師生一起歸納填寫

　　教學小結

　　直線與圓的位置關系，讓學生自己歸納本節(jié)課學習的內容，培養(yǎng)學生用數(shù)學語言歸納問題的能力。然后老師在多媒體打出圖表。

　　本節(jié)課主要采用了歸納、演繹、類比的思想方法，從現(xiàn)實生活中抽象出數(shù)學模型，體現(xiàn)了數(shù)學產生于生活的思想，并且將新舊知識進行了類比、轉化，充分發(fā)揮了學生的主觀能動性，體現(xiàn)了學生是學習的主體，真正成為學習的主人，轉變了角色。

直線的位置關系教案14

　　【課時目標】

　　1．會判斷空間兩直線的位置關系．

　　2．理解兩異面直線的定義及判定定理，會求兩異面直線所成的角．

　　3．能用公理4及等角定理解決一些簡單的相關證明．

　　1．空間兩條直線的位置關系有且只有三種：________、____________、____________．

　　2．公理4：平行于同一條直線的兩條直線____________．

　　3．等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角________．

　　4．異面直線

　　(1)定義：________________________的兩條直線叫做異面直線．

　　(2)判定定理：過平面內一點與平面外一點的直線，和這個平面內不經過該點的直線是______________．

　　5．異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經過空間任一點O，作直線a′，b′，使__________，__________，我們把a′與b′所成的________________叫做異面直線a與b所成的角．

　　如果兩條直線所成的角是________，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直，兩條異面直線所成的角α的取值范圍是____________．

　　練習：

　　一、填空題

　　1．若空間兩條直線a，b沒有公共點，則其位置關系是____________．

　　2．若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關系是______________．

　　3．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，與對角線AC1異面的棱共有________條．

　　4．空間四邊形的兩條對角線相互垂直，順次連結四邊中點的四邊形的形狀是________．

　　5．給出下列四個命題：

　　①垂直于同一直線的兩條直線互相平行；

　�、谄叫杏谕�一直線的兩直線平行；

　�、廴糁本�a，b，c滿足a∥b，b⊥c，則a⊥c；

　�、苋糁本�l1，l2是異面直線，則與l1，l2都相交的兩條直線是異面直線．

　　其中假命題的個數(shù)是________．

　　6．有下列命題：

　　①兩條直線和第三條直線成等角，則這兩條直線平行；

　　②四條邊相等且四個角也相等的四邊形是正方形；

　�、劢涍^直線外一點有無數(shù)條直線和已知直線垂直；

　　④若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，則OB∥O1B1．

　　其中正確命題的序號為________．

　　7．空間兩個角α、β，且α與β的兩邊對應平行且α＝60°，則β為________．

　　8．已知正方體ABCD—A′B′C′D′中：

　　(1)BC′與CD′所成的角為________；

　　(2)AD與BC′所成的角為________．

　　9．一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結論：

　　①AB⊥EF；

　�、贏B與CM所成的角為60°；

　�、跡F與MN是異面直線；

　�、躆N∥CD．

　　以上結論中正確結論的序號為________．

　　二、解答題

　　10．已知棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD、AD的中點．

　　求證：(1)四邊形MNA1C1是梯形；

　　(2)∠DNM＝∠D1A1C1．

　　11．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AB＝CD且AB與CD所成的角為30°，E、F分別是BC、AD的中點，求EF與AB所成角的大�。�

　　能力提升

　　12．如圖所示，G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________(填序號)．

　　13．如圖所示，在正方體AC1中，E、F分別是面A1B1C1D1和AA1D1D的中心，則EF和CD所成的角是______．

　　1．判定兩直線的位置關系的依據就在于兩直線平行、相交、異面的定義．很多情況下，定義就是一種常用的判定方法．另外，我們解決空間有關線線問題時，不要忘了我們生活中的模型，比如說教室就是一個長方體模型，里面的線線關系非常豐富，我們要好好地利用它，它是我們培養(yǎng)空間想象能力的好工具．

　　2．在研究異面直線所成角的大小時，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角．將空間問題向平面問題轉化，這是我們學習立體幾何的一條重要的思維途徑．需要強調的是，兩條異面直線所成角α的范圍為0°<α≤90°，解題時經常結合這一點去求異面直線所成的角的大小．

　　作異面直線所成的角，可通過多種方法平移產生，主要有三種方法：①直接平移法(可利用圖中已有的平行線)；②中位線平移法；③補形平移法(在已知圖形中，補作一個相同的幾何體，以便找到平行線)．

　　空間兩條直線的位置關系 答案

　　知識梳理

　　1．相交直線 平行直線 異面直線

　　2．互相平行 3．相等

　　4．(1)不同在任何一個平面內 (2)異面直線

　　5．a′∥a b′∥b 銳角(或直角) 直角 0°<α≤90°

　　作業(yè)設計

　　1．平行或異面

　　2．相交、平行或異面

　　解析 異面直線不具有傳遞性，可以以長方體為載體加以說明a、b異面，直線c的位置可如圖所示．

　　3．6

　　4．矩形

　　解析

　　易證四邊形EFGH為平行四邊形．

　　又∵E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，∴EF∥AC，

　　又FG∥BD，

　　∴∠EFG或其補角為AC與BD所成的角．

　　而AC與BD所成的角為90°，

　　∴∠EFG＝90°，故四邊形EFGH為矩形．

　　5．2

　　解析 ①④均為假命題．①可舉反例，如a、b、c三線兩兩垂直．

　�、苋鐖D甲時，c、d與異面直線l1、l2交于四個點，此時c、d異面，一定不會平行；

　　當點A在直線a上運動(其余三點不動)，會出現(xiàn)點A與B重合的情形，如圖乙所示，此時c、d共面相交．

　　6．③

　　7．60°或120°

　　8．(1)60° (2)45°

　　解析

　　連結BA′，則BA′∥CD′，連結A′C′，則∠A′BC′就是BC′與CD′所成的角．

　　由△A′BC′為正三角形，

　　知∠A′BC′＝60°，

　　由AD∥BC，知AD與BC′所成的角就是∠C′BC．

　　易知∠C′BC＝45°．

　　9．①③

　　解析

　　把正方體平面展開圖還原到原來的正方體，如圖所示，AB⊥EF，EF與MN是異面直線，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正確．

　　10．

　　證明 (1)如圖，連結AC，

　　在△ACD中，

　　∵M、N分別是CD、AD的中點，

　　∴MN是三角形的中位線，

　　∴MN∥AC，MN＝12AC．

　　由正方體的性質得：AC∥A1C1，AC＝A1C1．

　　∴MN∥A1C1，且MN＝12A1C1，即MN≠A1C1，

　　∴四邊形MNA1C1是梯形．

　　(2)由(1)可知MN∥A1C1，又因為ND∥A1D1，

　　∴∠DNM與∠D1A1C1相等或互補．

　　而∠DNM與∠D1A1C1均是直角三角形的銳角，

　　∴∠DNM＝∠D1A1C1．

　　11．解 取AC的中點G，

　　連結EG、FG，

　　則EG∥AB，GF∥CD，

　　且由AB＝CD知EG＝FG，

　　∴∠GEF(或它的補角)為EF與AB所成的角，∠EGF(或它的補角)為AB與CD所成的角．

　　∵AB與CD所成的角為30°，

　　∴∠EGF＝30°或150°．

　　由EG＝FG知△EFG為等腰三角形，當∠EGF＝30°時，∠GEF＝75°；

　　當∠EGF＝150°時，

　　∠GEF＝15°．

　　故EF與AB所成的角為15°或75°．

　　12．②④

　　解析 ①中HG∥MN．

　�、壑蠫M∥HN且GM≠HN，

　　∴HG、MN必相交．

　　13．45°

　　解析 連結B1D1，則E為B1D1中點，

　　連結AB1，EF∥AB1，

　　又CD∥AB，∴∠B1AB為異面直線EF與CD所成的角，

　　即∠B1AB＝45°．

　�。�2） ，設切點坐標為 ，則切線的斜率為2 ，且 ，于是切線方程為 ，因為點（－1，0）在切線上，可解得 ＝0或－4，代入可驗正D正確，選D。

　　點評：導數(shù)值對應函數(shù)在該點處的切線斜率。

　　例6．（1）半徑為r的圓的面積S(r)＝ r2,周長C(r)=2 r，若將r看作(0，＋∞)上的變量，則( r2)`＝2 r ○1，○1式可以用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導數(shù)等于圓的周長函數(shù)。對于半徑為R的球，若將R看作(0，＋∞)上的變量，請你寫出類似于○1的式子： ○2；○2式可以用語言敘述為： 。

　�。�2）曲線 和 在它們交點處的兩條切線與 軸所圍成的三角形面積是 。

　　解析：（1）V球＝ ，又 故○2式可填 ，用語言敘述為“球的體積函數(shù)的導數(shù)等于球的表面積函數(shù)。”；

　�。�2）曲線 和 在它們的交點坐標是(1，1)，兩條切線方程分別是y=－x+2和y=2x－1，它們與 軸所圍成的三角形的'面積是 。

　　點評：導數(shù)的運算可以和幾何圖形的切線、面積聯(lián)系在一起，對于較復雜問題有很好的效果。

　　題型4：借助導數(shù)處理單調性、極值和最值

　　例7．（1）對于R上可導的任意函數(shù)f（x），若滿足（x－1） 0，則必有（ ）

　　A．f（0）＋f（2）2f（1） B. f（0）＋f（2）2f（1）

　　C．f（0）＋f（2）2f（1） D. f（0）＋f（2）2f（1）

　�。�2）函數(shù) 的定義域為開區(qū)間 ，導函數(shù) 在 內的圖象如圖所示，則函數(shù) 在開區(qū)間 內有極小值點（ ）

　　A．1個 B．2個 C．3個 D． 4個

　�。�3）已知函數(shù) 。（Ⅰ）設 ，討論 的單調性；（Ⅱ）若對任意 恒有 ，求 的取值范圍。

　　解析：（1）依題意，當x1時，f（x）0，函數(shù)f（x）在（1，＋）上是增函數(shù)；當x1時，f（x）0，f（x）在（－，1）上是減函數(shù)，故f（x）當x＝1時取得最小值，即有f（0）f（1），f（2）f（1），故選C；

　�。�2）函數(shù) 的定義域為開區(qū)間 ，導函數(shù) 在 內的圖象如圖所示，函數(shù) 在開區(qū)間 內有極小值的點即函數(shù)由減函數(shù)變?yōu)樵龊瘮?shù)的點，其導數(shù)值為由負到正的點，只有1個，選A。

　�。�3）：(Ⅰ)f(x)的定義域為(－∞,1)∪(1,+∞).對f(x)求導數(shù)得 f '(x)= ax2+2－a(1－x)2 e－ax。

　　(?)當a=2時, f '(x)= 2x2(1－x)2 e－2x, f '(x)在(－∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(－∞,1), (1,+∞).為增函數(shù)；

　　(?)當00, f(x)在(－∞,1), (1,+∞)為增函數(shù).；

　　(?)當a>2時, 0

　　當x變化時, f '(x)和f(x)的變化情況如下表:

　　x(－∞, －a－2a)

　　(－a－2a,a－2a)(a－2a,1)(1,+∞)

　　f '(x)＋－＋＋

　　f(x)????

　　f(x)在(－∞, －a－2a), (a－2a,1), (1,+∞)為增函數(shù), f(x)在(－a－2a,a－2a)為減函數(shù)。

　　(Ⅱ)(?)當0f(0)=1；

　　(?)當a>2時, 取x0= 12 a－2a∈(0,1),則由(Ⅰ)知 f(x0)

　　(?)當a≤0時, 對任意x∈(0,1),恒有1+x1－x >1且e－ax≥1，

　　得：f(x)= 1+x1－xe－ax≥1+x1－x >1. 綜上當且僅當a∈(－∞,2]時,對任意x∈(0,1)恒有f(x)>1。

　　點評：注意求函數(shù)的單調性之前，一定要考慮函數(shù)的定義域。導函數(shù)的正負對應原函數(shù)增減。

　　例8．（1） 在區(qū)間 上的最大值是（ ）

　　(A)－2 (B)0 (C)2 (D)4

　�。�2）設函數(shù)f(x)= （Ⅰ）求f(x)的單調區(qū)間；（Ⅱ）討論f(x)的極值。

　　解析：（1） ，令 可得x＝0或2（2舍去），當－1x0時， 0，當0x1時， 0，所以當x＝0時，f（x）取得最大值為2。選C；

　�。�2）由已知得 ，令 ，解得 。

　�。á瘢┊� 時， ， 在 上單調遞增；

　　當 時， ， 隨 的變化情況如下表：

　　極大值

　　極小值

　　從上表可知，函數(shù) 在 上單調遞增；在 上單調遞減；在 上單調遞增。

　�。á颍┯桑á瘢┲�，當 時，函數(shù) 沒有極值；當 時，函數(shù) 在 處取得極大值，在 處取得極小值 。

　　點評：本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎知識，以及運用數(shù)學知識解決實際問題的能力。

　　題型5：導數(shù)綜合題

　　例9．設函數(shù) 分別在 處取得極小值、極大值. 平面上點 的坐標分別為 、 ，該平面上動點 滿足 ,點 是點 關于直線 的對稱點.求

　　(I)求點 的坐標；

　　(II)求動點 的軌跡方程.

　　解析： (Ⅰ)令 解得 ；

　　當 時, ， 當 時, ，當 時， 。

　　所以,函數(shù)在 處取得極小值,在 取得極大值,故 , 。

　　所以, 點A、B的坐標為 。

　�。á颍� 設 ， ，

　　，所以 。

　　又PQ的中點在 上，所以 ，消去 得 。

　　點評：該題是導數(shù)與平面向量結合的綜合題。

　　例10．（06湖南卷）已知函數(shù) ,數(shù)列{ }滿足: 證明:(?) ；(?) 。

　　證明: （I）．先用數(shù)學歸納法證明 ，ｎ＝1,2,3,…

　　(i).當n=1時,由已知顯然結論成立。

　　(ii).假設當n=k時結論成立,即 。

　　因為0

　　又f(x)在[0,1]上連續(xù)，從而 .故n=k+1時,結論成立。

　　由(i)、(ii)可知， 對一切正整數(shù)都成立。

　　又因為 時， ，所以 ，綜上所述 。

　�。↖I）．設函數(shù) ， ，

　　由（I）知，當 時， ，

　　從而 所以g (x)在(0,1)上是增函數(shù)。

　　又g (x)在[0,1]上連續(xù),且g (0)=0，所以當 時，g (x)>0成立。

　　于是 ．故 。

　　點評：該題是數(shù)列知識和導數(shù)結合到一塊。

　　題型6：導數(shù)實際應用題

　　例11．請您設計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問當帳篷的頂點O到底面中心 的距離為多少時，帳篷的體積最大？

　　本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎知識，以及運用數(shù)學知識解決實際問題的能力。

　　解析：設OO1為x m,則由題設可得正六棱錐底面邊長為 （單位：m）。

　　于是底面正六邊形的面積為（單位：m2）：

　　帳篷的體積為（單位：m3）：

　　求導數(shù)，得 ；

　　令 解得x=-2(不合題意，舍去),x=2。

　　當1

　　所以當x=2時,V(x)最大。

　　答：當OO1為2m時，帳篷的體積最大。

　　點評：結合空間幾何體的體積求最值，理解導數(shù)的工具作用。

　　例12．已知函數(shù)f(x)=x + x ，數(shù)列｜x ｜(x ＞0)的第一項x ＝1，以后各項按如下方式取定：曲線x=f(x)在 處的切線與經過（0，0）和（x ,f (x )）兩點的直線平行（如圖）求證：當n 時，

　　(Ⅰ)x

　　證明：（I）因為 所以曲線 在 處的切線斜率

　　因為過 和 兩點的直線斜率是 所以 .

　�。↖I）因為函數(shù) 當 時單調遞增，而

　　所以 ，即 因此

　　又因為 令 則

　　因為 所以

　　因此 故

　　點評：本題主要考查函數(shù)的導數(shù)、數(shù)列、不等式等基礎知識，以及不等式的證明，同時考查邏輯推理能力。

　　題型7：定積分

　　例13．計算下列定積分的值

　�。�1） ；（2） ；（3） ；（4） ；

　　解析：（1）

　�。�2）因為 ，所以 ；

　　（3）

　�。�4）

　　例14．（1）一物體按規(guī)律x＝bt3作直線運動，式中x為時間t內通過的距離，媒質的阻力正比于速度的平方．試求物體由x＝0運動到x＝a時，阻力所作的功。

　　（2）拋物線y=ax2＋bx在第一象限內與直線x＋y=4相切．此拋物線與x軸所圍成的圖形的面積記為S．求使S達到最大值的a、b值，并求Smax．

　　解析：（1）物體的速度 。

　　媒質阻力 ，其中k為比例常數(shù)，k>0。

　　當x=0時，t=0；當x=a時， ，

　　又ds=vdt，故阻力所作的功為：

　�。�2）依題設可知拋物線為凸形，它與x軸的交點的橫坐標分別為x1=0，x2=－b/a，所以 (1)

　　又直線x＋y=4與拋物線y=ax2＋bx相切，即它們有唯一的公共點，

　　由方程組

　　得ax2＋(b＋1)x－4=0，其判別式必須為0，即(b＋1)2＋16a=0．

　　于是 代入（1）式得：

　　令S'(b)=0；在b＞0時得唯一駐點b=3，且當0＜b＜3時，S'(b)＞0；當b＞3時，S'(b)＜0．故在b=3時，S(b)取得極大值，也是最大值，即a=－1，b=3時，S取得最大值，且 。

　　點評：應用好定積分處理平面區(qū)域內的面積。

　　五．思維

　　1．本講內容在高考中以填空題和解答題為主

　　主要考查：

　�。�1）函數(shù)的極限；

　�。�2）導數(shù)在研究函數(shù)的性質及在解決實際問題中的應用；

　�。�3）計算曲邊圖形的面積和旋轉體的體積。

　　2．考生應立足基礎知識和基本方法的復習，以本題目為主，以熟練技能，鞏固概念為目標。

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