關(guān)于平行四邊形教案模板集合六篇

　　作為一位優(yōu)秀的人民教師，通常需要準(zhǔn)備好一份教案，教案是備課向課堂教學(xué)轉(zhuǎn)化的關(guān)節(jié)點(diǎn)。那么大家知道正規(guī)的教案是怎么寫的嗎？以下是小編為大家收集的平行四邊形教案6篇，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。

平行四邊形教案 篇1

　　教學(xué)內(nèi)容：

　　人教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)》四年級上冊70頁至71頁。

　　教學(xué)目標(biāo)：

　　1。通過操作和討論掌握平行四邊形和梯形的特征，探討平行四邊形和長方形、正方形的關(guān)系。

　　2。培養(yǎng)分分析觀察能力、動(dòng)手操作能力和有序思考的能力，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和想像力。

　　3。體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，樹立學(xué)習(xí)信心，感受數(shù)學(xué)價(jià)值。

　　教學(xué)重點(diǎn)：

　　通過操作和討論掌握平行四邊形和梯形的特征。

　　教學(xué)難點(diǎn)：

　　了解平行四邊形與長方形和正方形的關(guān)系。

　　教學(xué)準(zhǔn)備

　　教具：正方形、長方形、平行四邊形和梯形圖各一；多媒體課件。

　　學(xué)具：直尺，三角板，練習(xí)紙一張。

　　教學(xué)過程：

　　一、回顧舊知，引入新課。

　　師：孩子們，在我們?nèi)�年級時(shí)已經(jīng)學(xué)過并認(rèn)識了許多的四邊形，那怎樣的圖形叫四邊形呢？

　　師：今天四邊形之家要邀請它的家族成員來開聯(lián)歡會，看，它們來了。（課件出示）你還認(rèn)識它們嗎？請你說一說你認(rèn)識的圖形的名稱。（生說名稱，教師相應(yīng)的課件出示名稱）

　　師：你能把它們分分類嗎？

　　師：長方形和正方形是我們的老朋友了，你們能介紹它們的邊與角各有什么特征嗎？

　　師：這兩個(gè)圖形（出示和，并粘貼在黑板上）你能試著說一說它的特征嗎？

　　師：長方形和正方形我們已經(jīng)很熟悉了，所以大家描述得既準(zhǔn)確又充分，（拿下長方形和正方形），指著平行四邊形和梯形說：這兩個(gè)圖形我們不熟悉，所以描述的信息不夠準(zhǔn)確，沒關(guān)系，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，會讓你清楚的認(rèn)識平行四邊形和梯形。

　　二、探索發(fā)現(xiàn)，掌握特征。

　　1。聯(lián)系生活，建構(gòu)概念

　　師：其實(shí)生活中就有許多物體的表面是平行四邊形或梯形。（課件出示一組圖片）找一找，有平行四邊形嗎？梯形呢？說說看！

　　師：你們真會觀察��！除了這些，你能舉出生活中的哪些物體的表面是平行四邊形和梯形呢？（生舉例）

　　師：看來平行四邊形和梯形在生活中應(yīng)用很廣泛，既然他們的應(yīng)用如此廣泛，我們就來研究什么叫做平行四邊形，什么叫做梯形。（板書課題：平行四邊形和梯形）

　　2。觀察圖形，直觀感知

　　師：好了孩子們，先來看看平行四邊形有什么特征？梯形有什么特征呢？

　　生說：平行四邊形左右的邊是平行的，平行四邊形的上下的邊也是平行的。師指圖比劃，梯形的上下邊是平行的。

　　師：剛才這位同學(xué)說平行四邊形的兩組對邊分別平行，梯形的一組邊平行（老師說時(shí)帶動(dòng)作），這是我們通過觀察得到的信息，真的是這樣嗎？下面我們就來驗(yàn)證。

　　3。驗(yàn)證猜想。

　　師：現(xiàn)在在你們的練習(xí)紙上有一個(gè)平行四邊形和一個(gè)梯形，請你拿出工具檢查平行四邊形和梯形對邊是否平行。

　　學(xué)生活動(dòng)：驗(yàn)證。

　　活動(dòng)結(jié)束師讓學(xué)生在實(shí)物投影上就圖說明。

　　師：通過剛才的'驗(yàn)證他們組有這樣的發(fā)現(xiàn)，其他組和他的發(fā)現(xiàn)一樣的請舉手，哦，大家都有這樣的發(fā)現(xiàn)。是不是其他的平行四邊形和梯形也具有這樣的特點(diǎn)呢？

　　4。整體呈現(xiàn)，確定概念。

　　（1）平行四邊形。

　　師：我們首先來看平行四邊形。請看屏幕：課件出示三個(gè)不同的平行四邊形并驗(yàn)證。

　　師：驗(yàn)證之后可以證實(shí)我們剛才的發(fā)現(xiàn)是正確的，是嗎？誰再來說一說我們剛才的發(fā)現(xiàn)？

　　引導(dǎo)學(xué)生得出：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

　　學(xué)生讀。

　　師：閉上眼睛想一想，你的腦子中的平行四邊形是什么樣的？

　�。�2）梯形

　　師：我們知道了什么叫平行四邊形�，F(xiàn)在我們來看梯形。請看屏幕：課件出示三個(gè)不同的梯形并驗(yàn)證。

　　師：現(xiàn)在我們又證實(shí)了剛才梯形的發(fā)現(xiàn)是正確的，誰再來說一說剛才的發(fā)現(xiàn)？

　　引導(dǎo)學(xué)生得出：只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形。

　　師：剛才這個(gè)同學(xué)發(fā)言中有一個(gè)特別重要的詞，誰發(fā)現(xiàn)了？你能解釋什么是“只有”嗎？

　　學(xué)生讀概念，閉上眼睛想一想梯形的樣子。

　　5。對比概念，上升理解。

　　師：（指板貼平行四邊形和梯形圖）同學(xué)們，既然我們知道了平行四邊形和梯形的概念了，誰說說它們的共同點(diǎn)是什么？

　　師：但也有不同，誰來說說哪里不同？

　　師：加著重號“分別”是什么意思？“只有”是什么意思？能不能不要這兩個(gè)字？

　　三、鞏固知識，加深理解

　　師：既然大家已經(jīng)知道了什么叫做平行四邊形、什么叫做梯形，那么，請你迅速的判斷一下。

　　課件出示：下面的圖形中．是平行四邊形的畫“○”，是梯形的畫“√”。

　�。ㄔ谕瓿纱祟}的過程中，如果出現(xiàn)爭議，則讓學(xué)生議一議；無爭議則提問：為什么在長方形下面畫“○”？為什么說它是特殊的平行四邊形？）

　　四、探討四邊形間的關(guān)系

　　師：到現(xiàn)在為止，我們學(xué)過了長方形、正方形、平行四邊形和梯形，如果分別用一個(gè)集合圈來表示一種圖形，這幾種圖形在四邊形這個(gè)大家庭中應(yīng)該站什么位置呢？（課件出示集合圈）

　　師：你會選擇哪一個(gè)？為什么？（放大正確集合圖）

　　師：誰能根據(jù)這個(gè)圖說說它們的關(guān)系？（生說）

　　五、靈活應(yīng)用，解決問題

　　師：看來，同學(xué)們對于各種四邊形之間的關(guān)系已經(jīng)很了解了，說到四邊形，看。老師這里有一個(gè)（課件出示：）可它被數(shù)學(xué)書擋住了，猜一猜，它可能是什么圖形呢？

　　繼續(xù)演示：不可能是……？可能是……？

　　不可能是……？可能是……？

　　一定是……？為什么？

　　師：其實(shí)謎底早在我們的意料之中！

　　師：通過一次次的猜想，我能感覺對于平行四邊形和梯形的了解越來越深入，想挑戰(zhàn)嗎？

　　2．分圖形。

　　呈現(xiàn)題目：如果在平行四邊形里畫一條線段，把它分成兩部分，這兩部分可能是什么圖形？畫畫看吧。

平行四邊形教案 篇2

　　教學(xué)目標(biāo)：

　　1、在聯(lián)系生活實(shí)際和動(dòng)手操作的過程中認(rèn)識平行四邊形，發(fā)現(xiàn)平行四邊形的基本特征，認(rèn)識平行四邊形的高。

　　2、在活動(dòng)中進(jìn)一步積累認(rèn)識圖形的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會用不同方法做出一個(gè)平行四邊形，會在方格紙上畫平行四邊形，能正確判斷一個(gè)平面圖形是不是平行四邊形，能測量或畫出平行四邊形的高。

　　3、感受圖形與生活的聯(lián)系，感受平面圖形的學(xué)習(xí)價(jià)值，進(jìn)一步發(fā)展對空間與圖形的學(xué)習(xí)興趣。

　　教學(xué)重點(diǎn)：進(jìn)一步認(rèn)識平行四邊形，發(fā)現(xiàn)平行四邊形的基本特征，會畫高。

　　教學(xué)難點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)平行四邊形的特征。

　　教學(xué)準(zhǔn)備：實(shí)物投影。

　　教學(xué)過程：

　　一、創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入新課。

　　1、出示長方形，談話：老師手里問成的是什么圖形？

　　學(xué)生：長方形

　　教師移動(dòng)成平行四邊形，談話：仔細(xì)看，現(xiàn)在圍成的是什么圖形？

　　學(xué)生：平行四邊形

　　揭題：今天我們進(jìn)一步認(rèn)識平行四邊形（揭題）

　　[從學(xué)生熟悉的長方形漸變成平行四邊形，既關(guān)注學(xué)生的原認(rèn)知，又符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，同時(shí)為后面發(fā)現(xiàn)平行四邊形邊的特點(diǎn)和比較長方形、平行四邊形的異同點(diǎn)提供了鋪墊]

　　2、教師談話：同學(xué)們在生活中見到過平行四邊形嗎？

　　生1：我們校門口的移動(dòng)門上有平行四邊形；

　　生2：一種衣架是平行四邊形；

　　生3：我家曬衣服的伸向外面的欄桿是平行四邊形的；

　　生4：看，墻上那個(gè)圖上有平行四邊形；

　　談話：只要你善于觀察生活，其實(shí)生活中經(jīng)常能看到平行四邊形。出示掛圖（電動(dòng)移門、樓梯扶欄、籬笆），你能從中找出平行四邊形嗎？

　　學(xué)生上臺指。

　　[通過讓學(xué)生在生活實(shí)踐中找平行四邊形，比劃出平行四邊形的樣子，挖掘?qū)W生對平行四邊形的潛在表象認(rèn)識，建立初步的感性表象。]

　　二、實(shí)踐操作、探究特點(diǎn)。

　　1、談話：同學(xué)們都認(rèn)識了平行四邊形，閉上眼睛在小腦袋里想一想平形四邊形是什么樣子的？好，腦子里有平行四邊形樣子了嗎？如果老師讓你做一個(gè)平行四邊形，你準(zhǔn)備怎么做？

　　學(xué)生思考。

　　2、學(xué)生用手頭材料做，做完后交流：我是怎么做平行四邊形的？教師巡視指導(dǎo)。

　　3、談話：誰愿意上臺來展示自己是怎么做的？

　　生1：我用釘子板圍；

　　生2：我用小棒擺的；

　　生3：我用方格圖上畫；

　　生4：我是直接折的；

　　生5：我是用剪刀剪的；

　　4、談話：同學(xué)們想出的辦法真多，請同學(xué)們觀察一下自己面前的平行四邊形，它的邊有什么共同特點(diǎn)呢？

　　小組交流：有什么發(fā)現(xiàn)？

　　5、交流匯報(bào)：

　　生1：我們小組覺得上下兩條邊可能平行；左右兩條邊可能平行。 （師板書：互相平行）

　　師：你是怎么發(fā)現(xiàn)的？

　　生1：我是看出來的，上下兩條邊延長后不相交；

　　師：其他小組發(fā)現(xiàn)這個(gè)特點(diǎn)了嗎？你有辦法證明嗎？

　　生2：我們的平行四邊形上下兩條邊延長后也不相交，我可以用畫平行線方法證明，左右也一樣；

　　師明確：上下兩條邊稱為一組對邊，左右一組對邊，可以稱兩組對邊。（板書：兩組對邊）

　　生3：我們可以用三角尺平移的辦法證明對邊是平行的。

　　小組討論后提問并板書：兩組對邊互相平行。

　　生3：我們小組發(fā)現(xiàn)兩組對邊都是相等的？

　　師：你們聽明白他的意思了嗎？

　　生4：就是上下兩條邊相等，左右兩條邊相等。

　　師規(guī)范語言：你指的是兩組對邊分別相等，是嗎？（板書）

　　談話：其他小組發(fā)現(xiàn)這個(gè)特點(diǎn)了嗎？你有辦法證明嗎？

　　生5：上下兩個(gè)小棒長度相等，左右長度也相等；

　　生6：我上下拉出的都是3格，左右是2格，都是相等；

　　小結(jié)：通過以上研究，我們已經(jīng)知道了平行四邊形的特點(diǎn)：兩組對邊分別平行且相等。

　　5、教師在釘子板上圍想想做做1，判斷：哪些圖形是平行四邊形，為什么。

　　生1：1、3、4是平行四邊形，因?yàn)樗麄兎�合平行四邊形特點(diǎn)兩組對邊分別平行且 相等。

　　生2：2不是，因?yàn)樗�上下對邊平行不相等，左右對邊相等又不平行，所以不是平行四邊形�?/p>

　　生3：2是梯形，所以不是平行四邊形。

　　[學(xué)生經(jīng)歷制作平行四邊形的過程，討論、探究、發(fā)現(xiàn)平行四邊形邊的特點(diǎn)，學(xué)生交流自己的驗(yàn)證方法，并用發(fā)現(xiàn)的特點(diǎn)去判斷圖形是否平行四邊形。經(jīng)歷制做研究發(fā)現(xiàn)應(yīng)用的過程，符合學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律。]

　　三、認(rèn)識高、底。

　　1、談話：出示一張平行四邊形的圖，介紹：這是一個(gè)平行四邊形，上下對邊是一組平行線，你能量出兩條平行線之間的距離嗎？應(yīng)該怎么量？把你量的線段畫出來。

　　學(xué)生自己嘗試后交流。教師指導(dǎo)明確平行線之間的垂直線段就是平行線之間的距離。

　　2、老師剛才發(fā)現(xiàn)，大家畫的垂直線段位置都不一樣，你們想想這是為什么呢？這樣的線段到底有多少條呢？（一組平行線之間的距離處處相等，有無數(shù)條。）

　　老師示范畫一組的垂直線段，說明：在平行四邊形里，一組對邊之間的垂直線段就是平行四邊形的高，而對邊就是底。

　　3、學(xué)生自主看書上P44頁，說一說：什么是平行四邊形的高？什么是底？

　　[由復(fù)習(xí)平行線之間距離入手，讓學(xué)生動(dòng)手量、畫，然后明確平形四邊形高、底的含義，注重鏈接知識的最近發(fā)展區(qū)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律]

　　4、師出示實(shí)物平行四邊形，指一指兩組底邊上的高。

　　5、找出底邊上的高：（圖略）

　　6、做書上試一試，量出底和高分別是多少？

　　(1)先指一指高垂直于哪條邊；(2)量出每個(gè)平行四邊形的底和高各是多少厘米。

　　7、想想做做5，先指一指平行四邊形的底，再畫出這條底邊上的高，注意畫上直角 標(biāo)記。如果有錯(cuò)誤，讓學(xué)生說說錯(cuò)在哪里。

　　[平行四邊形的高、底的認(rèn)識是本課教學(xué)的難點(diǎn)，通過量平行線間的距離，使學(xué)生逐步認(rèn)識平行四邊形的高和底。在扎實(shí)認(rèn)識了高和底的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生經(jīng)歷指高、找高、量高、畫高的過程，并通過變式，加深對知識點(diǎn)的掌握。]

　　四、練習(xí)提高。

　　1、談話：課一開始，老師將長方形一拉變成平行四邊形，現(xiàn)在老師再輕輕一移又變成了長方形，同學(xué)們觀察一下，長方形和平行四邊形哪里變了，哪里沒變，討論一下它們有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)呢？

　　學(xué)生小組交流，集體匯報(bào)。

　　生1：相同點(diǎn)是它們的對邊都是平行且相等；

　　生2 ：不同點(diǎn)是長方形的角都是直角，而平行四邊形的角不是直角；

　　生3：平行四邊形是長方形變形后產(chǎn)生的；

　　2、教師：平行四邊形不改變邊長的情況下可以改變成不同形狀的平行四邊形，這就是平行四邊形的不穩(wěn)定性。請同學(xué)看書上P45頁你知道嗎？

　　提問：說一說，生活中平行四邊形的這種特點(diǎn)在哪些地方有應(yīng)用？

　　生1：有種可以彈的那種拳擊套；

　　生2：曬衣服的衣架；

　　生3：捕魚的網(wǎng)；

　　五、實(shí)踐游戲：

　　1、想想做做2，用2塊、4塊完全一樣的三角尺分別拼成一個(gè)平行四邊形，在小組里交流是怎樣拼的。

　　2、想想做做3，用七巧板中的3塊拼成一個(gè)平行四邊形。

　　出示，你能移動(dòng)其中的一塊將它改拼成長方形嗎？

　　3、想想做做4，想把一塊平行四邊形的`木板鋸開做成一張盡可能的的長方形桌面，該從 哪里鋸開呢？找一張平行四邊形紙?jiān)囈辉嚒?/p>

　　[練習(xí)設(shè)計(jì)既富有情趣，又讓學(xué)生在活動(dòng)中體驗(yàn)到所學(xué)平行四邊形知識的價(jià)值，再次感悟到數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系。]

　　六、全課小結(jié)

　　今天我們重點(diǎn)研究了哪種平面圖形？它有什么特點(diǎn)？回想一下，我們通過哪些活動(dòng)進(jìn)行研究的？

　　[小結(jié)簡明扼要，既突出本節(jié)課的知識重點(diǎn)，又提升了學(xué)生的認(rèn)知策略。]

　　教學(xué)反思：

　　一、 激發(fā)原認(rèn)知關(guān)注學(xué)生知識儲備。

　　用發(fā)展的眼光來設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生在探究中親歷知識形成的過程，遠(yuǎn)比讓學(xué)生直接但卻被動(dòng)地獲取現(xiàn)成知識結(jié)論要更加具有深遠(yuǎn)的意義和影響，學(xué)生的觀察、猜想、探索和創(chuàng)新等其他各方面能力都能得到有效地開發(fā)和鍛煉。紙上得來終覺淺。在體驗(yàn)中自身感悟的東西理解深刻、印象久遠(yuǎn)。對平行四邊形的特征研究，我本著讓學(xué)生親歷知識的形成過程的方法，讓學(xué)生依據(jù)探究內(nèi)容自己有序探究，自己量一量、比一比、想一想，從而得出平行四邊形的特征，學(xué)生自然也得到了有效地學(xué)習(xí)。

　　二、重視過程把探究機(jī)會讓給學(xué)生。

　　《課標(biāo)》在基本理念中指出：數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，為學(xué)生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握數(shù)學(xué)知識。本課正是實(shí)踐這種理念的一個(gè)典范，如我在教學(xué)中提供長短不一的塑料棒和釘字板，讓學(xué)生根據(jù)印象中的平行四邊形制作平行四邊形，自主選擇學(xué)具圍成各種各樣的平行四邊形，其間學(xué)生既能采用最簡單的4根塑料棒來圍成，還有用釘字板圍。操作的成功不但讓學(xué)生對平行四邊形原有認(rèn)知表現(xiàn)外顯，更讓學(xué)生為下面進(jìn)一步觀察平行四邊形邊特點(diǎn)提供了素材，最重要的是提升學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的策略與能力，并從中得到成功的體驗(yàn)，樹立學(xué)習(xí)的信心。

平行四邊形教案 篇3

　　教學(xué)目標(biāo)

　　知識與技能：

　　１．使學(xué)生理解平行四邊形和梯形的概念及特征。

　　2．使學(xué)生了解學(xué)過的所有四邊形之間的關(guān)系，并會用集合圖表示。

　　過程與方法：

　　通過操作活動(dòng)，使學(xué)生經(jīng)歷認(rèn)識平行四邊形和梯形的全過程，掌握它們的特征。

　　情感態(tài)度和價(jià)值觀：

　　通過活動(dòng)，讓學(xué)生從中感受到學(xué)習(xí)的樂趣，體會到成功的喜悅，從而提高學(xué)習(xí)的興趣。

　　重點(diǎn)理解平行四邊形和梯形的概念及特征。了解學(xué)過的所有四邊形之間的關(guān)系，并會用集合圖表示。

　　難點(diǎn)理解平行四邊形和梯形的概念及特征。用集合圖表示學(xué)過的所有四邊形之間的關(guān)系。

　　教具圖形，剪子，七巧板

　　教學(xué)過程

　　教師導(dǎo)學(xué)

　　一、創(chuàng)設(shè)情景感知圖形

　�。保�出示例1，我們認(rèn)識過平行四邊形，你能說出哪些地方見過平行四邊形？（64頁）

　　2．在我們美麗的校園中，你能找到哪些四邊形？

　　梯子的側(cè)面－梯形

　　3．畫出你喜歡的一個(gè)四邊形。說一說什么樣的'圖形是四邊形？

　　展示學(xué)生畫出的四邊形，請學(xué)生標(biāo)出它們的名稱。

　　長方形 平行四邊形

　　梯形 正方形

　　4．小組交流：

　　從四邊形的特點(diǎn)來看，四邊形可以分成幾類？

　　學(xué)生討論交流

　　二、探究新知

　　1．歸納平行四邊形和梯形的概念

　　有什么特點(diǎn)的圖形是平行四邊形？

　　兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

　　強(qiáng)調(diào)說明：只要四邊形的每組對邊分別平行，就能確定它的每組對邊相等。因此平行四邊形的定義是兩組對邊分別平行的四邊形。

　　提問：

　�、偕�活中你見過這樣的圖形嗎？ 它們的外形像什么？

　�、谶@些圖形有幾條邊？幾個(gè)角？是什么圖形？

　　③這幾個(gè)四邊形有邊有什么特點(diǎn)？

　　④它是平行四邊形嗎？

　�、菽銈冊诹窟@些圖形時(shí)，是否發(fā)現(xiàn)它們都有一個(gè)共同的特點(diǎn)？如果有，是什么？

　　只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形。

　�。担�現(xiàn)在你有什么問題嗎？

　　長方形和正方形是平行四邊形嗎？為什么？

　�。叮�用集合圖表示四邊形之間的關(guān)系。我們學(xué)過的長方形、正方形、平行四邊形、剛剛認(rèn)識的梯形，你能用這個(gè)集合圈來表示他們的關(guān)系嗎？

平行四邊形教案 篇4

　　《平行四邊形的初步認(rèn)識》第1課時(shí)教案分析

　　備課時(shí)間：20xx年9月5日

　　上課時(shí)間： 年 月 日

　　教學(xué)內(nèi)容：教材第12～16頁例1和“想想做做”第1～5題。

　　教學(xué)目標(biāo)：

　　1、使學(xué)生通過觀察、比較、分類，認(rèn)識四邊形、五邊形、六邊形等平面圖形，能判斷一個(gè)由線段圍成的圖形是幾邊形，能按要求圍出或剪出多邊形。

　　2、使學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際中抽象出圖形，以及觀察、實(shí)踐操作等數(shù)學(xué)活動(dòng)，進(jìn)一步感受分類的思想，積累學(xué)習(xí)平面圖形的初步經(jīng)驗(yàn)；體會不同圖形邊數(shù)的特點(diǎn)，發(fā)展相應(yīng)的空間觀念。

　　3、使學(xué)生逐步形成參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的意識，培養(yǎng)獨(dú)立思考、主動(dòng)交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

　　教學(xué)重點(diǎn)：

　　認(rèn)識四邊形、五邊形、六邊形等平面圖形。

　　教學(xué)難點(diǎn)：

　　能根據(jù)要求把一個(gè)多邊形分成不同的圖形或者是數(shù)圖形的個(gè)數(shù)。

　　教具或?qū)W具準(zhǔn)備：

　　師生每人準(zhǔn)備小棒若干根，釘子板1個(gè)，四邊形紙片2張，正方形紙片1張，剪刀1把。

　　教學(xué)過程：

　　一、初步感知

　　1．回顧已知圖形。

　　今天，老師帶大家到有趣的“圖形王國”去游一游、看一看。（出示如下圖形）請看，這里有一些我們學(xué)過的圖形。你能說出它們的名稱嗎？

　　(1)讓學(xué)生明確第(1)題的要求。

　　出示兩張四邊形紙片，讓學(xué)生想想怎樣剪成兩個(gè)三角形，怎樣剪成一個(gè)三角形和一個(gè)四邊形。

　　學(xué)生操作剪圖形，教師巡視。

　　(2)讓學(xué)生明確第(2)題的`要求。

　　出示正方形紙片，要求學(xué)生想想怎樣可以剪下一個(gè)三角形。

　　學(xué)生操作剪下一個(gè)三角形。

　　展示交流：你是怎樣剪的？剩下的部分是什么圖形？

　　6、做“想想做做”第5題。

　　讓學(xué)生找一找、數(shù)一數(shù)，能找到幾個(gè)就找?guī)讉�(gè)；然后交流自己找到了幾個(gè)四邊形。

　　四、總結(jié)評價(jià)

　　交流：今天我們又去了圖形王國，你有哪些新收獲？你是怎樣學(xué)習(xí)這些知識的？

　　五、布置作業(yè)

　　《補(bǔ)充習(xí)題》第 頁。

　　板書設(shè)計(jì)：

　　課后筆記：

平行四邊形教案 篇5

　　教學(xué)目的

　　1．引導(dǎo)學(xué)生觀察長方形、正方形的邊和角的特點(diǎn)，認(rèn)識長方形、正方形的共性和各自的特點(diǎn)．

　　2．會在方格紙上畫長方形、正方形．

　　3．初步認(rèn)識平行四邊形．

　　教學(xué)重點(diǎn)

　　掌握長方形、正方形的特征

　　教學(xué)難點(diǎn)

　　長方形、正方形的區(qū)別和聯(lián)系

　　教具、學(xué)具準(zhǔn)備

　　多媒體課件一套（如果沒有，可用學(xué)具代替）、長方形、正方形紙片，實(shí)物圖片，七巧板、直尺、三角板．

　　教學(xué)過程

　　一、創(chuàng)設(shè)情境，提出問題．

　　出示8根小棒（6長、2短）

　　1．小組活動(dòng)：你能用這8根小棒擺一些圖形嗎？看哪一個(gè)小組擺的又快又多．

　　2．交流：請各小組到投影上邊擺邊說有幾種．

　　3．設(shè)疑：圖形之間有很多相同的和不同的地方，提出長方形和正方形，它們各有幾條邊，幾個(gè)角？每個(gè)角是什么角？它們的邊和角的特點(diǎn)都一樣嗎？這兩種圖形可不可以變成別的形狀？這就是我們這節(jié)課要研究的內(nèi)容．（出示課題）

　　二、主動(dòng)探索，研究問題．

　　1．認(rèn)識長方形．

　�。�1）獨(dú)立探索，小組交流．從學(xué)具中拿出長方報(bào)紙片來，動(dòng)手觀察一下它的角和邊，會發(fā)現(xiàn)什么？（與小組內(nèi)其他同學(xué)交流．）

　　（2）小組匯報(bào)：請小組各出一名代表發(fā)言，分別說一說通過研究發(fā)現(xiàn)了角和邊有什么特點(diǎn)，并且說一說怎樣想的或者是怎樣做的．找?guī)讉�(gè)組說一說．（如果有用折紙這一辦法的，請他說明怎樣做的，演示一下，并給予表揚(yáng)）

　�。�3）辯論：長方形有什么特征呢？（小組討論）

　�。�4）教師總結(jié)：剛才有的同學(xué)利用身邊的學(xué)具量一量，有的同學(xué)用折紙這個(gè)方法發(fā)現(xiàn)長方形相對著的兩條邊相等，也就是說長方形有兩組對邊相等，長方形有四個(gè)角，四個(gè)角都是直角．【演示動(dòng)畫長方形、正方形】

　�。�5）學(xué)生之間交流長方形的特點(diǎn)．每個(gè)人都用紙折折看，再驗(yàn)證一下．

　　2．認(rèn)識正方形．

　�。�1）獨(dú)立探索，小組交流．

　　同學(xué)們，剛才你們自己動(dòng)手研究了長方形的一些知識，那么正方形的角和邊又有什么特點(diǎn)呢？試試看，相信你能行．

　�。�2）匯報(bào)交流：正方形有什么特征呢？（小組互相說）

　�。�3）教師總結(jié)．我們用了同樣的方法，驗(yàn)證了正方形的邊和角的一些特點(diǎn)，也就是正方形的四條邊都是相等的，一樣長，四個(gè)角都是直角．（繼續(xù)演示動(dòng)畫長方形、正方形）

　　3．小組討論：長方形、正方形的聯(lián)系和區(qū)別【演示動(dòng)畫長方形、正方形的特征】．

　�。�1）師問：長方形與正方形有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)嗎？

　�。�2）教師總結(jié)：剛才我們研究了長方形和正方形的邊角特點(diǎn)．發(fā)現(xiàn)它們都有四個(gè)角，而且四個(gè)角都是直角：它們都有四條邊，但是長方形對邊相等，正方形不僅對邊相等，而且四條邊都相等．

　　（3）引導(dǎo)學(xué)生揭示四邊形的概念．

　　由四邊形圍成的圖形就是四邊形，長方形和正方形都是四邊形．

　　（4）初步練習(xí)：在釘子板上圍一個(gè)正方形和一個(gè)長方形．

　　4．平行四邊形的初步認(rèn)識．

　�。�1）出示：

　　讓學(xué)生自己觀察發(fā)現(xiàn)，能找出什么圖形，你想知道有關(guān)平行四邊形的什么知識？

　�。�2）投影出示畫在方格紙上的平行四邊形．

　　引導(dǎo)學(xué)生知道：它們有4個(gè)角，4條邊．

　　教師明確：這些圖形也是由四條邊圍成的圖形，我們把這樣的四邊形叫做平行四邊形．

　　教師說明：這些四邊形相對的邊之間的寬度總是保持一定的（用直尺演示出對邊間的距離不變），我們就說它的對邊是平行的，所以我們把這些圖形叫做平行四邊形．

　　引導(dǎo)學(xué)生觀察、討論：借助方格來看一看平行四邊形有什么特征？（以小組為單位，研究它的邊和角的特點(diǎn)．）

　�。�3）小組研討，匯報(bào)總結(jié)．

　　平行四邊形 角：4個(gè)

　　邊：四條 相對的邊相等

　�。�4）利用學(xué)具擺2個(gè)不同的平行四邊形．

　　（5）學(xué)生拿出制作長方形（平行四邊形）框的學(xué)具，用手拉它的一組相對的角．如圖：

　　討論：平行四邊形與長方形有哪些相同，有哪些不同？

　　引導(dǎo)學(xué)生：平行四邊形和長方形都有四條邊，都是相對的邊相等．長方形的四個(gè)角都是直角，而捏住長方形相對的兩個(gè)角的頂點(diǎn)一拉，它就不是長方形了，是一個(gè)平行四邊形．當(dāng)平行四邊形的角一個(gè)變成直角時(shí)，四個(gè)角就都變成直角，這時(shí)平行四邊形就又變成了長方形了．【演示動(dòng)畫變化的圖形】

　　三、運(yùn)用知識，解決問題．

　　1．要求：利用手中的小三角形擺長方形、正方形、平行四邊形．（4個(gè)小三角形）

　　2．利用手中的`七巧板擺一些漂亮的圖形，再給它起個(gè)名字．

　　四、看書質(zhì)疑，全課總結(jié)．

　　板書設(shè)計(jì)

　　探究活動(dòng)

　　七巧板

　　游戲目的

　　幫助學(xué)生認(rèn)識幾何圖形，培養(yǎng)空間關(guān)系的認(rèn)識能力和想象能力．

　　游戲準(zhǔn)備

　　學(xué)生每人準(zhǔn)備各種各樣的圖形，如：三角形、長方形、正方形等．

　　游戲過程

　　1．學(xué)生按下面三個(gè)要求拼圖：

　�、儆萌我鈨蓧K圖形拼成一個(gè)正方形；

　　②用任意三塊圖形拼成一個(gè)長方形；

　　2．學(xué)生自由拼圖，可以拼幾何圖形、建筑物或其他圖案，在規(guī)定的時(shí)間里誰拼得的圖形多，誰就是優(yōu)勝者．

　　注意事項(xiàng)

　　等分長方形的奧秘

　　活動(dòng)內(nèi)容

　　讓學(xué)生用折紙的辦法把長方形平均分成兩份．

　　活動(dòng)目標(biāo)

　　1．通過折、畫、討論、猜測、驗(yàn)證等形式的活動(dòng)，使學(xué)生掌握用一條直線等分長方形的方法．培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的能力和探索未知的方法．

　　2．運(yùn)用分組的活動(dòng)形式，培養(yǎng)學(xué)生的合作精神和競爭意識．

　　重點(diǎn)和難點(diǎn)

　　通過教學(xué)，讓學(xué)生感受并初步掌握實(shí)例分析綜合思考提出猜測推理驗(yàn)證這種探索問題的方法．是本課教學(xué)的重點(diǎn)．如何探索出能等分長方形的直線的規(guī)律是本課教學(xué)的難點(diǎn)．

　　活動(dòng)準(zhǔn)備

　　1．教具：長方形紙若干張、教學(xué)課件．

　　2．學(xué)具：直尺、小刀、水筆、大小相等的長方形紙片約10張．

　　活動(dòng)過程

　　1．折一折，把長方形平均分成大小相等的兩份．然后用直尺沿著折痕畫出直線．試一試，你們能折幾種？

　�。�1）請小組成員共同討論，注意互相分工合作．

　　（2）長方形紙片在信封里．

　�。�3）動(dòng)手折紙時(shí)間為3分鐘，比比看，哪組同學(xué)畫得又快又對又多？

　　2．反饋交流：指名上臺匯報(bào)小組討論探究的結(jié)果．分了幾種？是哪幾種？然后老師把把相應(yīng)的折法張貼在黑板上．

　　3．探索規(guī)律．

　　師：這樣的直線還有嗎？還有幾條呢？我們先不忙下結(jié)論，還是先來研究這些已經(jīng)知道的直線有什么共同特點(diǎn)．

　　（1）將你們小組等分的長方形紙片2張重疊，并把重疊的長方形紙片拿起來，對準(zhǔn)強(qiáng)光處照一照，然后3張、4張逐漸重疊，你發(fā)現(xiàn)了什么？

　�。�2）課件顯示各種等分長方形的直線相交于同一點(diǎn)的動(dòng)態(tài)過程．

　　（3）引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)：等分長方形的直線都相交于長方形內(nèi)的一點(diǎn)．

　　游戲前，教師可借助磁性黑板等教具作些示范演拼．在學(xué)生自由拼圖時(shí)，教師可在黑板上勾畫一些圖案，以啟發(fā)學(xué)生思維．

平行四邊形教案 篇6

　　一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

　�。薄⒔�(jīng)歷探索多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則的過程，發(fā)展有條理的思考及語言表達(dá)能力。

　　2、 會進(jìn)行簡單的多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算

　　二、學(xué)習(xí)過程

　　（一）自學(xué)導(dǎo)航

　　1、創(chuàng)設(shè)情境

　　某地區(qū)在退耕還林期間，將一塊長m米、寬a米的長方形林區(qū)的長、寬分別增加n米和b米，用兩種方法表示這塊林區(qū)現(xiàn)在的面積。

　　這塊林區(qū)現(xiàn)在的長為 米，寬為 米。因而面積為________米2。

　　還可以把這塊林地分為四小塊，它們的面積分別為 米2， 米2，_______米2， 米2。故這塊地的面積為 。

　　由于這兩個(gè)算式表示的都是同一塊地的面積，則有 =

　　如果把（m+n）看作一個(gè)整體，你還能用別的方法得到這個(gè)等式嗎？

　　2、概括：

　　多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則：

　　3、計(jì)算

　�。�1） （2）

　　4、練一練

　　（1）

　�。ǘ�）合作攻關(guān)

　　1、某酒店的廚房進(jìn)行改造，在廚房的中間設(shè)計(jì)一個(gè)準(zhǔn)備臺，要求四面的過道寬都為x米，已知廚房的長寬分別為8米和5米，用代數(shù)式表示該廚房過道的總面積。

　　2、解方程

　�。ㄈ�）達(dá)標(biāo)訓(xùn)練

　　1、填空題：

　�。�1） = =

　�。�2） = 。

　　2、計(jì)算

　�。�1） （2）

　�。�3） (4)

　�。ㄋ模┨嵘�

　　1、怎樣進(jìn)行多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算？

　　2、若 的乘積中不含 和 項(xiàng)，則a= b=

　　應(yīng)用題

　　第三十五講 應(yīng)用題

　　在本講中將介紹各類應(yīng)用題的解法與技巧．

　　當(dāng)今數(shù)學(xué)已經(jīng)滲入到整個(gè)社會的各個(gè)領(lǐng)域，因此，應(yīng)用數(shù)學(xué)去觀察、分析日常生活現(xiàn)象，去解決日常生活問題，成為各類數(shù)學(xué)競賽的一個(gè)熱點(diǎn)．

　　應(yīng)用性問題能引導(dǎo)學(xué)生關(guān)心生活、關(guān)心社會，使學(xué)生充分到數(shù)學(xué)與自然和人類社會的密切聯(lián)系，增強(qiáng)對數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心．

　　解答應(yīng)用性問題，關(guān)鍵是要學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)知識去觀察、分析、概括所給的實(shí)際問題，揭示其數(shù)學(xué)本質(zhì)，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型．其求解程序如下：

　　在初中范圍內(nèi)常見的數(shù)學(xué)模型有：數(shù)式模型、方程模型、不等式模型、函數(shù)模型、平面幾何模型、圖表模型等．

　　例題求解

　　一、用數(shù)式模型解決應(yīng)用題

　　數(shù)與式是最基本的數(shù)學(xué)語言，由于它能夠有效、簡捷、準(zhǔn)確地揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，富有通用性和啟發(fā)性，因而成為描述和表達(dá)數(shù)學(xué)問題的重要方法．

　　【例1】(20xx年安徽中考題)某風(fēng)景區(qū)對5個(gè)旅游景點(diǎn)的門票價(jià)格進(jìn)行了調(diào)整，據(jù)統(tǒng)計(jì)，調(diào)價(jià)前后各景點(diǎn)的游客人數(shù)基本不變。有關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：

　　景點(diǎn)ABCDE

　　原價(jià)（元）1010152025

　　現(xiàn)價(jià)（元）55152530

　　平均日人數(shù)（千人）11232

　�。�1）該風(fēng)景區(qū)稱調(diào)整前后這5個(gè)景點(diǎn)門票的平均收費(fèi)不變，平均日總收入持平。問風(fēng)景區(qū)是怎樣計(jì)算的？

　�。�2）另一方面，游客認(rèn)為調(diào)整收費(fèi)后風(fēng)景區(qū)的平均日總收入相對于調(diào)價(jià)前，實(shí)際上增加了約9.4%。問游客是 怎樣計(jì)算的？

　　（3）你認(rèn)為風(fēng)景區(qū)和游客哪一個(gè)的說法較能反映整體實(shí)際？

　　思路點(diǎn)撥 （1）風(fēng)景區(qū)是這樣計(jì)算的：

　　調(diào)整前的平均價(jià)格： ，設(shè)整后的平均價(jià)格：

　　∵調(diào)整前后的平均價(jià)格不變，平均日人數(shù)不變．

　　∴平均日總收入持平．

　�。� 2）游客是這樣計(jì)算的：

　　原平均日總收入：10×1+10×1+15×2+20×3+25×2=160（千元）

　　現(xiàn)平均日總收入：5×1+5×1+15×2+25×3+30×2=175（千元）

　　∴平均日總收入增加了

　　（3）游客的說法較能反映整體實(shí)際．

　　二、用方程模型解應(yīng)用題

　　研究和解決生產(chǎn)實(shí)際和現(xiàn)實(shí)生恬中有關(guān)問題常常要用到方程<組)的知識，它可以幫助人們從數(shù)量關(guān)系和相等關(guān)系的角度去認(rèn)識和理解現(xiàn)實(shí)世界．

　　【例2】 (重慶中考題)某中學(xué)新建了一棟4層的教學(xué)大樓，每層樓有8間教室，進(jìn)出這棟大樓共有4道門，其中兩道正門大小相同，兩道側(cè)門大小也相同．安全檢查中，對4道門進(jìn)行了測試：當(dāng)同時(shí)開啟一道正門和兩道側(cè)門時(shí)，2min內(nèi)可以通過560名學(xué)生；當(dāng)同時(shí)開啟一道正門和一道側(cè)門時(shí)，4mln內(nèi)可以通過800名學(xué)生．

　　(1)求平均每分鐘一道正門和一道側(cè)門各可以通過多少名學(xué)生?

　　(2)檢查中發(fā)現(xiàn)，緊急情況時(shí)因?qū)W生擁擠，出門的效率降低20％．安全檢查規(guī)定：在緊急情況下全大樓的學(xué)生應(yīng)在5min內(nèi)通過這4道門安全撤離．假設(shè)這棟教學(xué)大樓每間教室最多有45名學(xué)生，問：建造的這4道門整否符合安全規(guī)定?請說明理由．

　　思路點(diǎn)撥 列方程(組)的關(guān)鍵是找到題中等量關(guān)系：兩種測試中通過的學(xué)生數(shù)量．設(shè)未知數(shù)時(shí)一般問什么設(shè)什么．“符合安全規(guī)定”之義為最大通過量不小于學(xué)生總數(shù)．

　　(1)設(shè)平均每分鐘一道正門可以通過x名學(xué)生，一道側(cè)門可以通過y名學(xué)生，由題意得：

　　,解得：

　　(2)這棟樓最多有學(xué)生4×8×4 5=1440(名)．

　　擁擠時(shí)5min4道門能通過．

　　5×2(120+80)(1－20％)=1600(名),

　　因1600>1440，故建造的4道門符合安全規(guī)定．

　　三、用不等式模型解應(yīng)用題

　　現(xiàn)實(shí)世界中的不等關(guān)系是普遍存在的，許多問題有時(shí)并不需要研究它們之間的相等關(guān)系，只需要確定某個(gè)量的變化范圍，即可對所研究的問題有比較清楚的認(rèn)識．

　　【例3】 (蘇州中考題)我國東南沿海某地的風(fēng)力資源豐富，一年內(nèi)月平均的風(fēng)速不小于3m／s的時(shí)間共約160天，其中日平均風(fēng)速不小于6m／s的時(shí)間占60天．為了充分利用“風(fēng)能”這種“綠色資源”，該地?cái)M建一個(gè)小型風(fēng)力發(fā)電場，決定選用A、B兩種型號的風(fēng)力發(fā)電機(jī)，根據(jù)產(chǎn)品說明，這兩種風(fēng)力發(fā)電機(jī)在各種風(fēng)速下的日發(fā)電量(即一天的發(fā)電量)如下表：一天的發(fā)電量)如下表：

　　日平均風(fēng)速v(米/秒)v<33≤v<6v≥6

　　日發(fā)電量 (千瓦?時(shí))A型發(fā)電機(jī)O≥36≥150

　　B型發(fā)電機(jī)O≥24≥90

　　根據(jù)上面的數(shù)據(jù)回答：

　　(1)若這個(gè)發(fā)電場購x臺A型風(fēng)力發(fā)電機(jī)，則預(yù)計(jì)這些A型風(fēng)力發(fā)電機(jī)一年的發(fā)電總量至少為 千瓦?時(shí)；

　　(2)已知A型風(fēng)力發(fā)電機(jī)每臺O.3萬元，B型風(fēng)力發(fā)電機(jī)每臺O.2萬元．該發(fā)電場擬購置風(fēng)力發(fā)電機(jī)共10臺，希望購機(jī)的費(fèi)用不超過2.6萬元，而建成的風(fēng)力發(fā)電場每年的發(fā)電總量不少于102000千瓦?時(shí)，請你提供符合條件的購機(jī)方案．

　　根據(jù)上面的數(shù)據(jù)回答：

　　思路點(diǎn)撥 (1) (100×36+60×150)x=12600x；

　　(2)設(shè)購A型發(fā)電機(jī)x臺，則購B型發(fā)電機(jī)(10—x)臺,

　　解法一根據(jù)題意得：

　　解得5≤x ≤6．

　　故可購A型發(fā)電機(jī)5臺，B型發(fā)電機(jī)5臺；或購A型發(fā)電機(jī)6臺，B型發(fā)電視4臺．

　　四、用函數(shù)知識解決的應(yīng)用題

　　函數(shù)類應(yīng)用問題主要有以下兩種類型：(1)從實(shí)際問題出發(fā)，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，建立函數(shù)關(guān)系；(2)由提供的基本模型和初始條件去確定函數(shù)關(guān)系式．

　　【例4】 (揚(yáng)州)楊嫂在再就業(yè)中心的扶持下，創(chuàng)辦了“潤楊”報(bào)刊零售點(diǎn)．對經(jīng)營的某種晚報(bào)，楊嫂提供丁如下信息：

　　①買進(jìn)每份0.20元，賣出每份0.30元；

　�、谝粋�(gè)月內(nèi)(以30天計(jì))，有20天每天可以賣出200份，其余10天每天只能賣出120份；

　�、垡粋�(gè)月內(nèi)，每天從報(bào)社買進(jìn)的報(bào)紙份數(shù)必須相同．當(dāng)天賣不掉的報(bào)紙，以每份0.10元退回給報(bào)社；

　　(1)填表：

　　一個(gè)月內(nèi)每天買進(jìn)該種晚報(bào)的份數(shù)100150

　　當(dāng)月利潤(單位：元)

　　(2)設(shè)每天從報(bào)社買進(jìn)該種晚報(bào)x份，120≤x≤200時(shí)，月利潤為y元，試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求月利潤的最大值．

　　思路點(diǎn)撥(1)填表：

　　一個(gè)月內(nèi)每天買進(jìn)該種晚報(bào)的份數(shù)100150

　　當(dāng)月利潤(單位：元)300390

　　(2)由題意可知，一個(gè)月內(nèi)的20天可獲利潤：

　　20×=2x(元)；其余10天可獲利潤：

　　10=240—x(元)；

　　故y=x+240，(120≤x≤200)， 當(dāng)x=200時(shí)，月利潤y的最大值為440元．

　　注 根據(jù)題意，正確列出函數(shù)關(guān)系式，是解決問題的關(guān)鍵，這里特別要注意自變量x的取值范圍．

　　另外，初三還會提及統(tǒng)計(jì)型應(yīng)用題，幾何型應(yīng)用題．

　　【例5】 (桂林市)某公司需在一月(31天)內(nèi)完成新建辦公樓的裝修工程．如果由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合做，12天可完成；如果由甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)做，甲隊(duì)比乙隊(duì)少用10天完成．

　�。�1）求甲、乙兩工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程所需的天數(shù)．

　　(2)如果請甲工程隊(duì)施工，公司每日需付費(fèi)用200 0元；如果請乙工程隊(duì)施工，公司每日需付費(fèi)用1400元．在規(guī)定時(shí)間內(nèi)：A．請甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程；B．請乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工 程； C．請甲、乙兩隊(duì)合作完成此項(xiàng)工程．以上方案哪一種花錢最少?

　　思路點(diǎn)撥 這是一道策略優(yōu)選問題．工程問題中：工作量=工作效率×工時(shí)．

　　(1)設(shè)乙工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需x天，根據(jù)題意得：

　　, x=30合題意，

　　所以，甲工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需用20天，乙隊(duì)需30天．

　　(2)各種方案所需的費(fèi)用分別為：

　　A．請甲隊(duì)需20xx×20=40000元；

　　B．請乙隊(duì)需1400×30=4200元；

　　C．請甲、乙兩隊(duì)合作需(20xx+1400)×12=40800元．

　　所隊(duì)單獨(dú)請甲隊(duì)完成此項(xiàng)工程花錢最少．

　　【例6】 (2全國聯(lián)賽初賽題)一支科學(xué)考察隊(duì)前往某條河流的上游去考察一個(gè)生態(tài)區(qū)，他們以每天17km的速度出發(fā)，沿河岸向上游行進(jìn)若干天后到達(dá)目的地，然后在生態(tài)區(qū)考察了若干天，完成任務(wù)后以每天25km的速度返回，在出發(fā)后的第60天，考察隊(duì)行進(jìn)了24km后回到出發(fā)點(diǎn)，試問：科學(xué)考察隊(duì)的生態(tài)區(qū)考察了多少天?

　　思路點(diǎn)撥 挖掘題目中隱藏條件是關(guān)鍵!

　　設(shè)考察隊(duì)到 生態(tài)區(qū)去用了x天，返回用了y天，考察用了z天，則x+y+z=60，

　　17x－25y=－1，即25y－17x=1． ①

　　這里x、y是正整數(shù)，現(xiàn)設(shè) 法求出①的一組合題意的解，然后計(jì)算出z的值．

　　為此，先求出①的一組特殊解(x0，y0)，(這里x0，y0可以是負(fù)整數(shù))．用輾轉(zhuǎn)相除法．

　　25=l ×17+8，17=2×8+1，故1=17—2×8=17-2×(25—17)=3 ×17-2×25．

　　與①的左端比較可知，x0 =－3，y0=－2．

　　下面再求出①的合題意的解．

　　由不定方程的知識可知，①的一切整數(shù)解可表示為x=－3+25t，y=－2+17t，

　　∴ x+y=42t－5，t為整數(shù)．按題意0

　　∴z=60—(x+y)=23．

　　答：考察隊(duì)在生態(tài)區(qū)考察的天數(shù)是23天．

　　注 本題涉及到的未知量多，最終轉(zhuǎn)化為二元一次不定方程來解，希讀者仔細(xì)咀嚼所用方法．

　　【例7】 (江蘇省第17屆初中競賽題)華鑫超市對顧客實(shí)行優(yōu)惠購物，規(guī)定如下：

　　(1)若一次購物少于200元，則不予優(yōu)惠；

　　(2)若一次購物滿200元，但不超過500元，按標(biāo)價(jià)給予九折優(yōu)惠；

　　(3)若一次購物超過500元，其中500元部分給予九折優(yōu)惠，超過500元部分給予八折 優(yōu)惠．

　　小明兩次去該超市購物，分別付款198元與554元．現(xiàn)在小亮決定一次去購 買小明分兩次購買的同樣多的物品，他需付款多少?

　　思路點(diǎn)撥 應(yīng)付198元購物款討論：

　　第一次付款198元，可是所購物品的實(shí)價(jià)，未 享受優(yōu)惠；也可能是按九折優(yōu)惠后所付的款．故應(yīng)分兩種情況加以討論．

　　情形1 當(dāng)198元為購物不打折付的錢時(shí)，所購物品的原價(jià)為198元 ．

　　又554=450+104，其中450元為購物500元打九折付的錢，104元為購物打八折付的錢；104÷0. 8 =130(元)．

　　因此，554元所購物品的原價(jià)為130+500=630(元)，于是購買小呀花198 +630=828(元)所購的全部物品，小亮一次性購買應(yīng)付500×0.9+(828－500)×0.8=712.4（元）．

　　情形2 當(dāng)198元為購物打九折付的錢時(shí)，所購物品的原價(jià)為198 ÷0.9=220(元) ．仿情形1的討論，，購220+630=850{元}物品一次性付款應(yīng)為500×0.9+(850－500)×0.8=730(元)．

　　綜上所述，小亮一次去超市購買小明已購的同樣多的物品，應(yīng)付款712.40元或730元

　　【例8】 (20xx年全國數(shù)學(xué)競賽題)某項(xiàng)工程，如果由甲、乙兩隊(duì)承包，2 天完成，需180000元；由乙、丙兩隊(duì)承包，3 天完成，需付150000元；由甲、丙兩隊(duì)承包，2 天完成，需付160000元．現(xiàn)在工程由一個(gè)隊(duì)單獨(dú)承包，在保證一周完成的前提下，哪個(gè)隊(duì)承包費(fèi)用最少?

　　思路點(diǎn)撥 關(guān)鍵問題是甲、乙、丙單獨(dú)做各需的天數(shù)及獨(dú)做時(shí)各方日付工資．分兩個(gè)層次考慮：

　　設(shè)甲、乙、丙單獨(dú)承包各需x、y、z天完成．

　　則 ，解得

　　再設(shè)甲、乙、丙單獨(dú)工作一天，各需付u、v、w元，

　　則 ，解得

　　于是，由甲隊(duì)單獨(dú)承包，費(fèi)用是45500×4=182000 (元)．

　　由乙隊(duì)單獨(dú)承包，費(fèi)用是29500×6= 177000 (元)．

　　而丙隊(duì)不能在一周內(nèi)完成．所以由乙隊(duì)承包費(fèi)用最少．

　　學(xué)歷訓(xùn)練

　�。ˋ級）

　　1．(河南)在防治“SARS”的戰(zhàn)役中，為防止疫情擴(kuò)散，某制藥廠接到了生產(chǎn)240箱過氧乙酸消毒液的任務(wù)．在生產(chǎn)了60箱后，需要加快生產(chǎn)，每天比原來多生產(chǎn)15箱，結(jié)果6天就完成了任務(wù)．求加快速度后每天生產(chǎn)多少箱消毒液?

　　2．(山東省競賽題)某市為鼓勵(lì)節(jié)約用水，對自來水妁收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)作如下規(guī)定：每月每戶用水中不超過10t部分按0.45元／噸收費(fèi)；超過10t而不超過20t部分按每噸0.8元收費(fèi)；超過20t部分按每噸1.50元收費(fèi)，某月甲戶比乙戶多繳水費(fèi)7.10元，乙戶比丙戶多繳水費(fèi)3.75元，問甲、乙、丙該月各繳水費(fèi)多少?(自來水按整噸收費(fèi))

　　3．(江蘇省競賽題)甲、乙、丙三人共解出100道數(shù)學(xué)題，每人都解出了其中的60道題，將其中只有1人解出的題叫做難題，3人都解出的題叫做容易題．試問：難題多還是容易題多?多的比少的多幾道題?

　　4．某人從A地到B地乘坐出租車有兩種方案，一種出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是起步價(jià)10元，每千米1.2元；另一種出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是起步價(jià)8元，每千米1.4元，問選擇哪一種出租車比較合適?

　　(提示：根據(jù)目前出租車管理?xiàng)l例，車型不同，起步價(jià)可以不同，但起步價(jià)的最大行駛里程是相同的，且此里程內(nèi)只收起步價(jià)而不管其行駛里程是多少)

　�。˙級）

　　1．(全國初中數(shù)學(xué)競賽題)江堤邊一洼地發(fā)生了管涌，江水不斷地涌出，假定每分鐘涌出的水量相等，如果用兩臺抽水機(jī)抽水，40min可抽完；如果用4臺抽水機(jī)抽，16min可抽完．如果要在10min抽完水，那么至少需要抽水機(jī) 臺．

　　2．(希望杯)有一批影碟機(jī)(VCD)原售價(jià)：800元／臺．甲商場用如下辦法促銷：

　　購買臺數(shù)1~5臺6~10臺11~15臺16~20臺20臺以上

　　每臺價(jià)格760元720元680元640元600元

　　乙商場用如下辦法促銷：每次購買1~8臺，每臺打九折；每次購買9~16臺，每臺打八五折； 每次購買17~24臺，每臺打八折；每次購買24臺以上，每臺打七五折．

　　（1）請仿照甲商場的促銷列表，列出到乙商場購買VCD的購買臺數(shù)與每臺價(jià)格的對照表；

　　(2)現(xiàn)在有A、B、C三個(gè)單位，且單位要買10臺VCD，B單位要買16臺VCD，C單位要買20臺VCD，問他們到哪家商場購買花費(fèi)較少?

　　3．(河北創(chuàng)新與知識應(yīng)用競賽題)某錢幣收藏愛好者想把3.50元紙幣兌換成1分、2分、5分的硬幣，他要求硬幣總數(shù)為150枚，且每種硬幣不少于20枚，5分的硬幣要多于2分的硬幣．請你據(jù)此設(shè)計(jì)兌換方案．

　　4．從自動(dòng)扶梯上走到二樓(扶梯本身也在行駛)，如果男孩和女孩都做勻速運(yùn)動(dòng)且男孩每分鐘走動(dòng)的級數(shù)是女孩的兩倍，已知男孩走了27級到達(dá)扶梯頂部，而女孩走了18級到達(dá)扶梯頂部(設(shè)男孩、女孩每次只踏—級)．問：

　　(1)扶梯露在外面的部分有多少級?

　　(2)如果扶梯附近有一從二樓到一樓的樓梯，樓梯的級數(shù)和扶梯的級數(shù)相等，兩孩子各自到扶梯頂部后按原速度再下樓梯，到樓梯底部再乘扶梯(不考慮扶梯與樓梯間距離)則男孩第一次追上女孩時(shí)走了多少級臺階?

　　5．某化肥廠庫存三種不同的混合肥，第一種 含磷60％，鉀40％，第二種含鉀10％，氮90％；第三種含鉀50％，磷20％，氮30％，現(xiàn)將三種肥混合成含氮45％的'混合肥100?(每種肥都必須取)，試問在這三種不同混合肥的不同取量中，新混合肥含鉀的取值范圍．

　　6．(黃岡競賽題)有麥田5塊A、B、C、D、E，它們的產(chǎn)量，(單位：噸)、交通狀況和每相鄰兩塊麥田的距離如圖21-2所示，要建一座永久性打麥場，這5塊麥田生產(chǎn)的麥子都在此打場．問建在哪快麥田上(不允許建在除麥田以外的其他地方)才能使總運(yùn)輸量最小?圖中圓圈內(nèi)的數(shù)字為產(chǎn)量，直線段上的字母a、b、d表示距離，且b < a

　　多邊形的邊角與對角線

　　j.Co M

　　第十四講 多邊形的邊角與對角線

　　邊、角、對角線是多邊形中最基本的概念，求多邊形的邊數(shù) 、內(nèi)外角度數(shù)、對角線條數(shù)是解與多邊形相關(guān)的基本問題，常用到三角形內(nèi)角和、多邊形內(nèi)、外角和定理、不等式、方程等知識．

　　多邊形 的內(nèi)角和定理反映出一定的規(guī)律性：(n－2)×180°隨n的變化而變化；而多邊形的外角和定理反映出更本質(zhì)的規(guī)律；360°是一個(gè)常數(shù)，把內(nèi)角問題轉(zhuǎn)化為外角問題，以靜制動(dòng)是解多邊形有關(guān)問題的常用技巧．

　　將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來處理是解多邊形問題的基本策略，連對角線或向外補(bǔ)形、對內(nèi)分割是轉(zhuǎn)化的常用方法，從凸 邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引出的對角線把 凸 邊形分成 個(gè)多角形，凸n邊形一共可引出 對角線．

　　例題求解

　　【例1】在一個(gè)多邊形中，除了兩個(gè)內(nèi)角外，其余內(nèi)角之和為20xx°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是 ．

　　(江蘇省競賽題)

　　思路點(diǎn)撥 設(shè)除去的角為°，y°，多邊形的邊數(shù) 為 ，可建立關(guān)于x、y的不定方程；又0°

　　鏈接 世界上的萬事萬物是一個(gè)不斷地聚合和分裂的過程，點(diǎn)是幾何學(xué)最原始的概念，點(diǎn)生線、線生面、面生體，幾何元素的聚合不斷產(chǎn)生新的圖形，另一方面，不斷地分割已有的圖形可得到新的幾何圖形，發(fā)現(xiàn)新的幾何性質(zhì)，多邊形可分成三角形，三角形可以合成其他

　　一些幾何圖形．

　　【例2】 在凸10邊形的所有內(nèi)角中，銳角的個(gè)數(shù)最多是( )

　　A．0 B．1 C．3 D．5

　　(全國初中數(shù)學(xué)競賽題)

　　思路點(diǎn)撥 多邊形的內(nèi)角和是隨著多邊形的邊數(shù)變化而變化的，而外角和卻總是不變的，因此，可把內(nèi)角為銳角的個(gè)數(shù)討論轉(zhuǎn)化為 外角為鈍角的個(gè)數(shù)的探討．

　　【例3】 如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，且AD=BC=4，若將此三角形沿AD剪開成為兩個(gè)三角形，在平面上把這兩個(gè)三角形拼成一個(gè)四邊形，你能拼出所有的不同形狀的四邊形嗎?畫出所拼四邊形的示意圖(標(biāo)出圖中直角)，并分別寫出所拼四邊形的對角線的長．

　　(烏魯木齊市中考題)

　　思路點(diǎn)撥 把動(dòng)手操作與合情想象相結(jié)合 ，解題的關(guān)鍵是能注意到重合的邊作為四邊形對角線有不同情形．

　　注 教學(xué)建模是當(dāng)今教學(xué)教育、考試改革最熱門的一個(gè)話題，簡單地說，“數(shù)學(xué)建�！本褪峭ㄟ^數(shù)學(xué)化(引元、畫圖等)把實(shí)際問題特化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題，再運(yùn)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識方法(模型)解決問題．

　　本例通過設(shè)元，把“沒有重疊、沒有空隙”轉(zhuǎn)譯成等式，通過不定方程求解．

　　【例4】 在日常生活中，觀察各種建筑物的地板，就能發(fā)現(xiàn)地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案．也就是說，使用給定的某些正多邊形，能夠拼成一個(gè)平面圖形，既不留下一絲空白，又不互相重疊(在幾何里叫做平面鑲嵌)，這顯然與正多邊形的內(nèi)角大小有關(guān)，當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角(360°)時(shí)，就拼成了一個(gè)平面圖形．

　　(1)請根據(jù)下列圖形，填寫表中空格：

　　(2)如果限于用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個(gè)平面圖形?

　　(3)從正三角形、正四邊形，正六邊形中選一種，再在其他正多邊形中選一種，請畫出用這兩種不同的正多邊形鑲嵌成的一個(gè)平面圖形(草圖)；并探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面 圖形?說明你的理由．

　　(陜西省中考題)

　　思路點(diǎn)撥 本例主要研究兩個(gè)問題：①如果限用一種正多邊形鑲嵌，可選哪些正多邊形；②選用兩種正多邊形鑲嵌，既具有開放性，又具有探索性．假定正n邊形滿足鋪砌要求，那么在它的頂點(diǎn)接合的地方，n個(gè)內(nèi)角的和為360°，這樣，將問題的討論轉(zhuǎn)化為求不定方程的正整數(shù)解．

　　【例5】 如圖，五邊形ABCDE的每條邊所在直線沿該邊垂直方向向外平移4個(gè)單位，得到新的五邊形A'B'C'D'E'．

　�。�1）圖中5塊陰影部分即四邊形AHA'G、BFB'P、COC'N、DMD'L、EKE'I能拼成一個(gè)五邊形嗎?說明理由．

　　(2)證明五邊形A'B'C'D'E'的周長比五邊形ABCD正的周長至少增加25個(gè)單位．

　　(江蘇省競賽題)

　　思路點(diǎn)撥 (1)5塊陰影部分要能拼成一個(gè)五邊形須滿足條件：，A'GB'； B'PC'； C'ND'；D'LE'；E'IA'三點(diǎn)分別共線；∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°；(2)增加的周長等于A'H+A'G+B'F+B'P+C'O+C'N+D'M+D'L+E'K+E'I，用圓的周長逼近估算．

　　1．如圖，用硬紙片剪一個(gè)長為16cm、寬為12cm的長方形，再沿對角線把它分成兩個(gè)三角形，用這兩個(gè)三角形可拼出各種三角形和四邊形來，其中周長最大的是 ?，周長最小的是 cm．

　　(選6《莢國中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》)

　　2．如圖，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= ．

　　3．如圖，ABCD是凸四邊形，AB=2，BC=4，CD=7，則線段AD的取值范圍是 ．

　　4．用黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如下所示的規(guī)律，拼成若干個(gè)圖案：

　　(1)第4個(gè)圖案中有白色地面磚 塊；

　　(2)第n個(gè)圖案中有白色地面磚 塊．

　　(江西省中考題)

　　5．凸n邊形中有且僅有兩個(gè)內(nèi)角為鈍角，則n的最大值是( )

　　A．4 B．5 C． 6 D．7

　　( “希望杯”邀請賽試題)

　　6．一個(gè)凸多邊 形的每一內(nèi)角都等于140°，那么，從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對角線的條數(shù)是( )

　　A．9條 B．8條 C．7條 D． 6條

　　7．有一個(gè)邊長為4m的正六邊形客廳，用邊長為50cm的正三角形瓷磚鋪滿，則需要這種瓷磚( )

　　A．216塊 B．288塊 C．384塊 D．512塊

　　( “希望杯”邀請賽試題)

　　8．已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，△ACD是一個(gè)含有30°角的直角三角形，現(xiàn)將△ABC和△ACD拼成一個(gè)凸四邊形ABCD．

　�。�1）)畫出四邊形ABCD；

　　(2)求出四邊形ABCD的對角線BD的長．

　　(上海市閔行區(qū)中考題)

　　9．如圖，四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC=90°，∠BCD＝150°，求∠BAD的度數(shù)．

　　(北京市競賽題)

　　10．如圖，在五邊形A1A2A3A4A5中，Bl是A1的對邊A3A4的中點(diǎn)，連結(jié)A1B1，我們稱A1B1是這個(gè)五邊形的一條中對線，如果五邊形的每條中對線都將五邊形的面積分成相等的兩部分，求證：五邊形的每條邊都有一條對角線和它平行．

　　(安徽省中考題)

　　11．如圖，凸四邊形有 個(gè)；∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ．

　　(重慶市競賽題)

　　12．如圖，延長凸五邊形A1A2A3A4A5的各邊相交得到5個(gè)角，∠B1，∠B2，∠B3，∠B4，∠B5，它們的和等于 ；若延長凸n邊形(n≥5)的各邊相交，則得到的n個(gè)角的和等于 ．

　　( “希望杯”邀請賽試題)

　　13．設(shè)有一個(gè)邊長為1的正三角形，記作A1(圖a)，將每條邊三等分，在中間的線段上向外作正三角形，去掉中間的線段后所得到的圖形記作A 2(圖b)，再將每條邊三等分，并重復(fù)上述過程，所得到的圖形記作A3(圖c)；再將每條邊三 等分，并重復(fù)上述過程，所得到的圖形記作A4，那么，A4的周長是 ；A4這個(gè)多邊形的面積是原三角形面積的 倍．

　　(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)

　　14．如圖，六邊形ABCDEF中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F，且AB+BC=11，F(xiàn)A—CD=3，則BC+DC= ． (北京市競賽題)

　　15．在一個(gè)n邊形中，除了一個(gè)內(nèi)角外，其余(n一1)個(gè)內(nèi)角的和為2750°，則這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為( )

　　A．130° D．140° C ．105° D．120°

　　16．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=90°，AB=BC=2 ，AC=6，AD=3，則CD的長為( )

　　A．4 B．4 C．3 D． 3 (江蘇省競賽題)

　　注 按題中的方法'不斷地做下去，就會成為下圖那樣的圖形，它的邊界有一個(gè)美麗的名稱——雪花曲線或 科克曲線(瑞典數(shù)學(xué)家)，這類圖形稱為“分形”，大量的物理、生物與數(shù)學(xué)現(xiàn)象都導(dǎo)致分形，分形是新興學(xué)科“混沌”的重要分支．

　　17．如圖，設(shè)∠CGE=α，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠C+∠F=( )

　　A．360°一α B．270°一αC．180°+α D．2α

　　(山東省競賽題)

　　18．平面上有A、B，C、D四點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不在一直線上，求證：在△ABC、△ABD、△ACD、△BDC中至少有一個(gè)三角形的內(nèi)角不超過45°．

　　19．一塊地能被n塊相同的正方形地磚所覆蓋，如果用較小的相同正方形地磚，那么需n+76塊這樣的地磚才能覆蓋該塊地，已知n及地磚的邊長都是整數(shù)，求n． (上海市競賽題)

　　20．如圖，凸八邊形ABCDEFGH的8 個(gè)內(nèi)角都相等，邊AB、BC、CD、DE、EF、FG的長分別為7，4，2，5，6，2，求該八邊形的周長．

　　21．如圖l是一張可折疊的鋼絲床的示意圖，這是展開后支撐起來放在地面上的情況，如果折疊起來，床頭部分被折到了床面之下(這里的A、B、C、D各點(diǎn)都是活動(dòng)的)，活動(dòng)床頭是根據(jù)三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性設(shè)計(jì)而成的，其折疊過程可由圖2的變換反映出來．

　　如果已知四邊形ABCD中，AB=6，CD=15，那么BC、AD取多長時(shí)，才能實(shí)現(xiàn)上述的折疊變化?

　　(淄博市中考題)

　　22．一個(gè)凸n邊形由若干個(gè)邊長為1的正方形或正三角形無重疊、無間隙地拼成，求此凸n邊形各個(gè)內(nèi)角的大小，并畫出這樣的 凸n邊形的草圖．

　　圖形的平移與旋轉(zhuǎn)

　　前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家亞格龍將幾何學(xué)定義為：幾何學(xué)是研究幾何圖形在運(yùn)動(dòng)中不變的那些性質(zhì)的學(xué)科．

　　幾何變換是指把一個(gè)幾何圖形Fl變換成另一個(gè)幾何圖形F2的方法，若僅改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小，這種變換稱為合同變換，平移、旋轉(zhuǎn)是常見的合同變換．

　　如圖1，若把平面圖形Fl上的各點(diǎn)按一定方向移動(dòng)一定距離得到圖形F2后，則由的變換叫平移變換．

　　平移前后的圖形全等，對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等．

　　如圖2，若把平面圖Fl繞一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度得到圖形F2，則由Fl到F2的變換叫旋轉(zhuǎn)變換，其中定點(diǎn)叫旋轉(zhuǎn)中心，定角叫旋轉(zhuǎn)角．

　　旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．

　　通過平移或旋轉(zhuǎn)，把部分圖形搬到新的位置，使問題的條件相對集中，從而使條件與待求結(jié)論之間的關(guān)系明朗化，促使問題的解決．

　　注 合同變換、等積變換、相似變換是基本的幾何變換．等積變換，只是圖形在保持面積不變情況下的形變'而相似變換，只保留線段間的比例關(guān)系，而線段本身的大小要改變．

　　例題求解

　　【例1】如圖，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA：PB：PC＝1：2：3，則∠APD= ．

　　思路點(diǎn)撥 通過旋轉(zhuǎn)，把PA、PB、PC或關(guān)聯(lián)的線段集中到同一個(gè)三角形．

　　【例2】 如圖，在等腰Rt△ABC的斜邊AB上取兩點(diǎn)M，N，使∠MCN=45°，記AM＝m，MN= x，DN=n，則以線 段x、m、n為邊長的三角形的形狀是( )

　　A．銳角三角形 B．直角三角形

　　C．鈍角三角形 D．隨x、m、n的變化而改變

　　思路點(diǎn)撥 把△ACN繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得△CBD，這樣∠ACM+∠BCN=45°就集中成一個(gè)與∠MCN相等的角，在一條直線上的m、 x、n 集中為△DNB，只需判定△DNB的形狀即可．

　　注 下列情形，常實(shí)施旋轉(zhuǎn)變換：

　　(1)圖形中出現(xiàn)等邊三角形或正方形，把旋轉(zhuǎn)角分別定為60°、90°；

　　(2)圖形中有線段的中點(diǎn)，將圖形繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，構(gòu)造中心對稱全等三角形；

　　(3)圖形中出現(xiàn)有公共端點(diǎn)的線段，將含有相等線段的圖形繞公共端點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)兩相等線段的夾角后與另一相等線段重合．

　　【例3】 如圖，六邊形ADCDEF中，AN∥DE，BC∥EF，CD∥AF，對邊之差BC－EF＝ED?AB＝AF?CD>0，求證：該六邊形的各角相等．

　　(全俄數(shù)學(xué)奧林匹克競賽題)

　　思路點(diǎn)撥 設(shè)法將復(fù)雜的條件BC?FF=ED?AB=AF?CD>0用一個(gè)基本圖形表示，題設(shè)中有平行條件，可考慮實(shí)施平移變換．

　　注 平移變換常與平行線相關(guān)，往往要用到平行四邊形的性質(zhì)，平移變換可將角，線段移到適當(dāng)?shù)奈恢茫�使分散的條件相對集中，促使問題的解決．

　　【例4】 如圖，在等腰△ABC的兩腰AB、AC上分別取點(diǎn)E和F，使AE=CF．已知BC=2，求證：EF≥1． (西安市競賽題)

　　思路點(diǎn)撥 本例實(shí)際上就是證明2EF≥BC，不便直接證明，通過平移把BC與EF集中到同一個(gè)三角形中．

　　注 三角形中的不等關(guān)系，涉及到以下基本知識：

　　(1)兩點(diǎn)間線段最短，垂線段最短；

　　(2)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；

　　(3)同一個(gè)三角形中大邊對大角(大角對大邊)，三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角．

　　【例5】 如圖，等邊△ABC的邊長為 ，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA2+PB2＝PC2，若PC=5，求PA、PB的長． (“希望杯”邀請賽試題)

　　思路點(diǎn)撥 題設(shè)條件滿足勾股關(guān)系PA2+PB2＝PC2的三邊PA、PB、PC不構(gòu)成三角形，不能直接應(yīng)用，通過旋轉(zhuǎn)變換使其集中到一個(gè)三角形中，這是解本例的關(guān) 鍵．

　　學(xué)歷訓(xùn)練

　　1．如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)將△ABP繞點(diǎn)B顧時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)能與△CBP′重合，若PB=3，則PP′= ．

　　2．如圖，P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA＝6，PB=8，PC＝10，則∠APB ．

　　3．如圖，四邊形ABC D中，AB∥CD，∠D=2∠B，若AD=a，AB=b，則CD的長為 ．

　　4．如圖，把△ABC沿AB邊平移到△A'B'C'的位置，它們的重疊部分(即圖中陰影部分)的面積是△ABC的面積的一半，若AB= ，則此三角形移動(dòng)的距離AA'是( )

　　A． B． C．l D． (20xx年荊州市中考題)

　　5．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)C、F，給出以下四個(gè)結(jié)論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四邊形AEPF= S△ABC；④EF=AP．

　　當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)(點(diǎn)E不與A、B重合)，上述結(jié)論中始終正確的有( )

　　A．1個(gè) B．2個(gè) C ．3個(gè) D．4個(gè)

　　(20xx年江蘇省蘇州市中考題)

　　6．如圖，在四邊形 ABCD中，AB＝BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于E， S四邊形ABCD d=8，則BE的長為( )

　　A．2 B．3 C ． D． (20xx年武漢市選拔賽試題)

　　7．如圖，正方形ABCD和正方形EFGH的邊長分別為 和 ，對角線BD、FH都在直線 上，O1、O2分別為正方形的中心，線段O1O2的長叫做兩個(gè)正方形的中心距，當(dāng)中心O2在直線 上平移時(shí)，正方形EFGH也隨之平移，在平移時(shí)正方形EFGH的形狀、大小沒有變化．

　　(1)計(jì)算：O1D= ，O2F= ；

　　(2)當(dāng)中心O2在直線 上平移到兩個(gè)正方形只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，中心距O1O2= ；

　　(3)隨著中心O2在直線 上平移，兩個(gè)正方形的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)還有哪些變化?并求出相對應(yīng)的中心距的值或取值范圍(不必寫出計(jì)算過程)． (徐州市中考題)

　　8．圖形的操做過程（本題中四個(gè)矩形的水平方向的邊長均為a，豎直 方向的邊長均為b）：

　　在圖a中，將線段A1A2向右平移1個(gè)單位到B1B2,得到封閉圖形A1A2B1B2（即陰影部分）；

　　在圖b中， 將折線A1A2A3向右平移1個(gè)單位到B1B2B3，得到封閉圖形A1A2A3B1B2B3（即陰影部分）；

　　（1）在圖c中,請你類似地畫一條有兩個(gè)折點(diǎn)的折線,同樣向右平移1個(gè)單位,從而得到一個(gè)封閉圖形,并用斜線畫出陰影；

　�。�2）請你分別寫出上述三個(gè)圖形中除去陰影部分后剩余部分的面積：S1= ，,S2= ，S3= ；

　�。�3）聯(lián)想與探索：

　　如圖d，在一塊矩形草地上,有一條彎曲的柏油小路（小路任何地方的水平寬度都是1個(gè)單位），請你猜想空白部分表示的草地面積是多少？并說明你的猜想是正確的．

　　(20xx年河北省中考題)

　　9．如圖，已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM、△CBN是等邊三角形，求證：AN＝BM．

　　說明及要求：本題是《幾何》第二冊幾15中第13題，現(xiàn)要求：

　　(1)將△ACM繞C點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°，使A點(diǎn)落在CB上，請對照原題圖在圖中畫出符合要求的圖形(不寫作法，保留作圖痕跡)．

　　(2)在①所得的圖形中，結(jié)論“AN＝BM”是否還成立?若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

　　(3)在①得到的圖形中，設(shè)MA的延長線與BN相交于D點(diǎn)，請你判斷△ABD與四邊形MDNC的形狀，并證明你的結(jié)論．

　　10．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC=4cm，以斜邊BC上距離B點(diǎn)3cm的點(diǎn)P為中心，把這個(gè)三角形按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至△DEF，則旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)直角三角形重疊部分的面積是 cm2．

　　11．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，點(diǎn)E在DC上，AE、BC的延長線交于點(diǎn)F，若AE=10，則S△ADE+S△CEF的值是 ．

　　(紹興市中考題)

　　12．如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA+PB+PC與AB+AC的大小關(guān)系是( )

　　A．PA+PB+PC>AB+AC B．PA+PB+PCC． PA+PB+PC＝AB+AC D．無法確定

　　13．如圖，設(shè)P到等邊三角形ABC兩頂點(diǎn)A、B的距離分別為2、3，則PC所能達(dá)到的最大值為( )

　　A． B． C ．5 D．6

　　(20xx年武漢市選拔賽試題)

　　14．如圖，已知△ABC中，AB=AC，D為AB上一點(diǎn)，E為AC 延長線上一點(diǎn)，BD=CE，連DE，求證：DE>DC．

　　15．如圖，P為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA、PB、PC的長為正整數(shù)，且PA2+PB2=PC2，設(shè)PA=m，n為大于5的實(shí)數(shù)，滿 ，求△ABC的面積．

　　16．如圖，五羊大學(xué)建立分校，校本部與分校隔著兩條平行的小河， ∥ 表示小河甲， ∥ 表示小河乙，A為校本部大門，B為分校大門，為方便人員來往，要在兩條小河上各建一座橋，橋面垂直于河岸．圖中的尺寸是：甲河寬8米，乙河寬10米，A到甲河垂直距離為40米，B到乙河垂直距離為20米，兩河距離100米，A、B兩點(diǎn)水平距離(與小河平行方向)120米，為使A、B兩點(diǎn)間來往路程最短，兩座橋都按這個(gè)目標(biāo)而建，那么，此時(shí)A、D兩點(diǎn)間來往的路程是多少米? (“五羊杯”競賽題)

　　17．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)O到△ABC各邊的距離都等于1，將△ABC繞 點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得△A1BlC1 ，兩三角形公共部分為多邊形KLMNPQ．

　　(1)證明：△AKL、△BMN、△CPQ都是等腰直角三角形；

　　(2)求△ABC與△A1BlC1公共部分的面積． (山東省競賽題)

　　18．(1)操作與證明：如圖1，O是邊長為a的正方形ACBD的中心，將一塊半徑足夠長，圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在O點(diǎn)處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，求證：正方形ABCD的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值．

　　(2)嘗試與思考：如圖2，將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a的正三角形或正五邊形的中心O點(diǎn)處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)， 當(dāng)扇形紙板的圓心角為 時(shí)，正三角形的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a；當(dāng)扇形紙板的圓心角為 時(shí)，正五邊形的邊被紙板覆蓋部分的總長度也為定值a．

　　(3)探究與引申：一般地，將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a的正n邊形的中心O點(diǎn)處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．當(dāng)扇形紙板的圓心角為 時(shí)，正n邊形的邊被紙板覆蓋部分 的總長度為定值a；這時(shí)正n邊形被紙板覆蓋部分的面積是否也為定值?若為定值，寫出它與正n邊形面積S之間的關(guān)系；若不是定值，請說明理由．

【平行四邊形教案】相關(guān)文章：

《平行四邊形的面積》教案01-02

平行四邊形面積教案02-09

平行四邊形的面積教案03-31

認(rèn)識平行四邊形教案03-05

平行四邊形的面積教案03-17

《平行四邊形面積的計(jì)算》教案09-14

數(shù)學(xué)《平行四邊形的面積》教案02-14

精選平行四邊形教案4篇05-12

平行四邊形教案9篇05-19

精選平行四邊形教案3篇05-16